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[考研大纲] 考研专业课大纲#2020年北京邮电大学601数学分析考研究生大纲

601数学分析

一、考试目的

要求考生比较系统地理解和掌握数学分析的基本概念、基本理论和基本方法。同时,考察考生的逻辑推理能力、计算能力和运用所学知识分析问题和解决问题的能力。

二、考试内容

1、实数集与函数

实数的概念,实数的性质,绝对值与不等式,区间与邻域,有界集与无界集,上确界与下确界,确界原理;函数的定义,函数的表示法,分段函数,有界函数,单调函数,奇函数与偶函数,周期函数。

2、数列极限

极限概念,收敛数列的性质(唯一性,有界性,保号性,单调性),数列极限存在的条件(单调有界准则,迫敛性法则,柯西准则)。

3、函数极限

函数极限的概念,单侧极限的概念,函数极限的性质(唯一性,局部有界性,局部保号性,不等式性,迫敛性),函数极限存在的条件(归结原则(Heine定理),柯西准则),两个重要极限,无穷小量与无穷大量,阶的比较。

4、函数连续

一点连续的定义,区间连续的定义,单侧连续的定义,间断点及其分类,连续函数的局部性质及运算,闭区间上连续函数的性质(最大最小值性、有界性、介值性、一致连续性),复合函数的连续性,反函数的连续性,初等函数的连续性。

5、导数与微分

导数的定义,单侧导数,导函数,导数的几何意义,导数公式,导数的运算(四则运算),求导法则(反函数的求导法则,复合函数的求导法则,隐函数的求导法则,参数方程的求导法则),微分的定义,微分的运算法则,微分的应用,高阶导数与高阶微分。

6、微分学基本定理

罗尔中值定理,拉格朗日中值定理,柯西中值定理,几种特殊类型的不定式极限与罗比塔法则,泰勒公式。

7、导数的应用

函数的单调性与极值,函数凹凸性与拐点。

8、实数完备性定理及应用

闭区间套定理,单调有界定理,柯西收敛准则,确界存在定理,聚点定理,有限覆盖定理,有界性定理的证明,最大小值性定理的证明,介值性定理的证明,一致连续性定理的证明。

9、不定积分

不定积分概念,换元积分法与分部积分法,几类可化为有理函数的积分。

10、定积分

黎曼积分定义,函数可积的必要条件,可积性条件,达布上和与达布下和,可积函数类,可变上限积分,牛顿-莱布尼兹公式,无穷积分收敛与发散的概念,审敛法(柯西准则,比较法,狄利克雷与阿贝尔判别法),瑕积分的收敛与发散的概念,收敛判别法。

11、定积分的应用

平面图形的面积,微元法,已知截面面积函数的立体体积,旋转体的体积平面曲线的弧长与微分,曲率,功,液体压力,引力。

12、数项级数

无穷级数收敛,发散等概念,柯西准则,收敛级数的基本性质,比较原理,达朗贝尔判别法,柯西判别法,积分判别法,交错级数与莱布尼兹判别法,绝对收敛级数与条件收敛级数及其性质,阿贝尔判别法与狄利克雷判别法。

13、函数项级数

一致收敛性及一致收敛判别法(柯西准则,优级数判别法,狄利克雷与阿贝尔判别法),一致收敛的函数列与函数项级数的性质(连续性,可积性,可微性)。

14、幂级数

阿贝尔定理,收敛半径与收敛区间,幂级数的一致收敛性,幂级数和函数的分析性质,几种常见初等函数的幂级数展开与泰勒定理。

15、傅里叶级数

三角函数与正交函数系, 付里叶级数与傅里叶系数, 以2p为周期函数的付里叶级数, 收敛定理,以2L为周期的付里叶级数,收敛定理的证明。

16、多元函数极限与连续

平面点集与多元函数的概念,二元函数的极限、累次极限,二元函数的连续性概念,连续函数的局部性质及初等函数连续性。

17、多元函数的微分学

偏导数的概念,偏导数的几何意义,偏导数与连续性,连续性与可微性,偏导数与可微性,多元复合函数微分法及求导公式,方向导数与梯度,泰勒定理与极值。

18、隐函数定理及其应用

隐函数的概念,隐函数的定理,隐函数求导举例,隐函数组存在定理,反函数组与坐标变换,雅可比行列式,平面曲线的切线与法线,空间曲线的切线与法平面,曲面的切平面和法线,条件极值的概念,条件极值的必要条件。

19、重积分

二重积分的概念,可积条件,可积函数,二重积分的性质,二重积分的计算:化二重积分为累次积分,换元法(极坐标变换,一般变换),含参变量的积分,化三重积分为累次积分, 换元法(一般变换,柱面坐标变换,球坐标变换),立体体积,曲面的面积,物体的重心,转动惯量,含参变量非正常积分及其一致收敛性概念,一致收敛的判别法(柯西准则,与函数项级数一致收敛性的关系,一致收敛的M判别法),含参变量非正常积分的分析性质,欧拉积分:伽马函数及其性质,贝塔函数及其性质。

20、曲线积分与曲面积分

第一型曲面积分的的概念、性质与计算,第二型曲线积分的概念、性质与计算,两类曲线积分的联系,格林公式,曲线积分与路线的无关性, 全函数,曲面的侧,第二型曲面积分概念及性质与计算,两类曲面积分的关系,高斯公式,斯托克斯公式,空间曲线积分与路径无关性,场的概念,梯度,散度和旋度。

三、试卷结构

考试题型:计算题、证明题

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