考研数学>备考经验#大话<函数与极限>如何复习

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时间：2016-11-0917:21:40

1.函数的有界性在定义域内有f(x)≥K1则函数f(x)在定义域上有下界，K1为下界;如果有f(x)≤K2 ，则有上界
，K2称为上界。函数f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界 。

2.数列的极限定理(极限的唯一性)数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限
。

定理(收敛数列的有界性)如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界。

如果数列{xn}无界 ，那么数列{xn}一定发散;但如果数列{xn}有界
，却不能断定数列{xn}一定收敛，例如数列1 ，-1，1
，-1，(-1)n+1…该数列有界但是发散 ，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件 。

定理(收敛数列与其子数列的关系)如果数列{xn}收敛于a
，那么它的任一子数列也收敛于a.如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列{xn}是发散的 ，如数列1
，-1，1 ，-1
，(-1)n+1…中子数列{x2k-1}收敛于1，{xnk}收敛于-1 ，{xn}却是发散的;同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的
。

3.函数的极限函数极限的定义中0

定理(极限的局部保号性)如果lim(x→x0)时f(x)=A
，而且A>0(或A0(或f(x)>0)，反之也成立。

函数f(x)当x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等 ，即f(x0-0)=f(x0+0)，若不相等则limf(x)不存在 。

一般的说
，如果lim(x→∞)f(x)=c，则直线y=c是函数y=f(x)的图形水平渐近线。如果lim(x→x0)f(x)=∞ ，则直线x=x0是函数y=f(x)图形的铅直渐近线
。

4.极限运算法则定理有限个无穷小之和也是无穷小;有界函数与无穷小的乘积是无穷小;常数与无穷小的乘积是无穷小;有限个无穷小的乘积也是无穷小;定理如果F1(x)≥F2(x)
，而limF1(x)=a，limF2(x)=b ，那么a≥b.

5.极限存在准则两个重要极限lim(x→0)(sinx/x)=1;lim(x→∞)(1+1/x)x=1.夹逼准则如果数列{xn} 、{yn}
、{zn}满足下列条件：yn≤xn≤zn且limyn=a
，limzn=a，那么limxn=a ，对于函数该准则也成立。

单调有界数列必有极限 。

6.函数的连续性设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义
，如果函数f(x)当x→x0时的极限存在，且等于它在点x0处的函数值f(x0) ，即lim(x→x0)f(x)=f(x0)
，那么就称函数f(x)在点x0处连续
。

不连续情形：1、在点x=x0没有定义;2 、虽在x=x0有定义但lim(x→x0)f(x)不存在;3
、虽在x=x0有定义且lim(x→x0)f(x)存在，但lim(x→x0)f(x)≠f(x0)时则称函数在x0处不连续或间断。

如果x0是函数f(x)的间断点 ，但左极限及右极限都存在，则称x0为函数f(x)的第一类间断点(左右极限相等者称可去间断点
，不相等者称为跳跃间断点) 。非第一类间断点的任何间断点都称为第二类间断点(无穷间断点和震荡间断点)
。

定理有限个在某点连续的函数的和、积 、商(分母不为0)是个在该点连续的函数。

定理如果函数f(x)在区间Ix上单调增加或减少且连续，那么它的反函数x=f(y)在对应的区间Iy={y|y=f(x) ，x∈Ix}上单调增加或减少且连续 。反三角函数在他们的定义域内都是连续的
。

定理(大值小值定理)在闭区间上连续的函数在该区间上一定有大值和小值。如果函数在开区间内连续或函数在闭区间上有间断点
，那么函数在该区间上就不一定有大值和小值 。

定理(有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界，即m≤f(x)≤M.定理(零点定理)设函数f(x)在闭区间[a ，b]上连续
，且f(a)与f(b)异号(即f(a)×f(b)

推论在闭区间上连续的函数必取得介于大值M与小值m之间的任何值
。

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