考研复习专业课#2021年湖南师范大学*数学基础综合*硕士研究生入学考试考研大纲

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更新时间：2021/1/510:24:06

2021年湖南师范大学硕士研究生入学考试自命题科目考试大纲

考试科目代码：考试科目名称：数学基础综合

一
、考试内容及要点

复变函数部分

1、复数与复变函数

考试内容

复数 、复平面点集以及复变函数

考试要点

(1)掌握复数及其运算
、几何表示；

(2)了解复平面上的点集、区域 、曲线
、集与集之间的距离，区域的连通性等相关概念；

(3)掌握复变函数的极限和连续。

2、解析函数

考试内容

解析函数的概念与柯西——黎曼条件 ，初等解析函数

考试要点

(1)理解解析函数的概念
，柯西-黎曼条件，函数可微与解析的充要条件；

(2)掌握常见的初等函数：幂函数 ，根式函数
，指数函数，三角函数 ，反三角函数以及一般幂函数与一般指数函数 。

3 、复变函数积分

考试内容

复积分的概念及其简单性质
，柯西积分定理，柯西积分公式 ，解析函数与调和函数的关系
。

考试要点

(1)掌握复变函数积分的定义
、基本性质以及复变函数积分的计算；

(2)理解掌握柯西积分定理及其推广（单连通
，复连通）；

(3)熟练掌握柯西积分公式及其推论、解析函数的无穷可微性以及一些相关重要定理；

(4)了解调和函数概念，掌握解析函数与调和函数的关系。

4 、解析函数的幂级数表示法

考试内容

复级数的基本性质 ，幂级数，解析函数的Taylor展式
，解析函数零点孤立性和唯一性 。

考试要点

(1)掌握复级数的基本性质；

(2)掌握Abel定理，幂级数的收敛半径求法 ，和函数的解析性
，Taylor展开式，解析函数的级数展开举例；

(3)理解掌握解析函数零点的孤立性 ，解析函数的唯一性定理
，最大模原理
。

5
、解析函数的罗朗展式与孤立奇点

考试内容

解析函数的洛朗展式，解析函数的孤立奇点 ，解析函数在无穷点的性质
，整函数和亚纯函数。

考试要点

(1)理解罗朗级数与泰勒级数之间的关系，掌握解析函数在孤立奇点邻域内的洛朗展式；

(2)掌握可去奇点、极点 、本性奇点的定义及判别 ，理解掌握席瓦尔兹引理
，毕卡定理，

(3)理解掌握解析函数在无穷远点邻域的性质 ，整函数与亚纯函数概念及其简单性质

6、残数理论及其应用

考试内容

留数，用留数定理计算实积分
，辐角原理及其应用

考试要点

(1)掌握留数的概念，留数定理 ，留数的求法以及无穷远点的残数；

(2)熟练掌握利用留数定理计算四种主要类型实积分；

(3)理解对数留数
，掌握辐角原理，儒歇定理及其应用 。

7
、参考书目

钟玉泉.复变函数论（第三版）.高等教育出版社 ，2003

空间解析几何部分

1、向量代数

考试内容

向量的基本运算 、性质及应用
。

考试要点

(1)理解向量外积和混合积的几何意义
，两向量的夹角，一向量在它向量上的射影。

(2)掌握标架与坐标 ，向量的线性关系及其判定
，向量的线性运算
、内积、外积 、混合积和二重外积 。

2
、空间的平面与直线

考试内容

平面、直线的各种形式的方程，位置关系及度量关系 、平面束
。

考试要点

(1)掌握平面与直线的各种形式方程的互化 ，点到平面的离差
，平面划分空间问题，三元一次不等式的几何意义 ，直线的方向角和方向余弦，直线的射影式方程。

(2)平面方程与直线方程
，平面束，点与平面
、点与直线、平面与平面 、平面与直线
、直线与直线的位置关系及其判定及度量关系数值特征及其计算 ，两异面直线间的公垂线方程 。

3、常见的曲面

考试内容

柱面 、锥面及旋转曲面的定义与方程
，五种典型的二次曲面的定义、方程
、图形与性质，二次直纹曲面。

考试要点

(1)了解球面坐标和柱面坐标 ，用平行截割法研究曲面
，双曲面的渐近锥面，作简图
。

(2)理解曲面与曲线方程的概念 ，曲面与曲线的坐标式方程与参数方程的互化
，空间圆的方程，曲线族生成曲面 ，直线与球面、平面与球面的位置关系
，母线平行于坐标轴的柱面方程 、锥面方程的特点，用析因式法讨论曲面的直母线。

(3)掌握球面 ，柱面，锥面
，旋转曲面，椭球面 ，单叶双曲面和双叶双曲面
，椭圆抛物面和双曲抛物面，单叶双曲面与双曲抛物面的直母线 。

4
、二次曲面的一般理论

考试内容

空间直角坐标变换、二次曲面的中心与渐近方向 、径面
、切线和切平面、化简与分类及二次曲面的不变量
。

考试要点

(1)了解二次曲面的的不变量 ，二次曲面外一点处的切锥面
，二次曲面的分类

(2)理解二次曲面与直线的位置关系，二次曲面方程的化简 ，平面直角坐标变换。

(3)掌握空间直角坐标变换
，二次曲面的渐近方向和中心，二次曲面的径面和奇向 ，二次曲面的主径面与主方向
，二次曲面的切线和切平面 。

5 、参考书目

《空间解析几何》，李养成编著 ，科学出版社

常微分方程部分

1
、常微分方程的基本概念

考试内容

常微分方程的导出及基本概念

考试要点

(1)理解如何用微分方程解决实际问题；了解积分曲线和方向场概念
。

(2)掌握常微分方程定义,阶数,线性和非线性,解和隐式解，通解和特解
，方程和方程组，定解条件和定解问题。

2、一阶微分方程的初等解法

考试内容

变量分离方程与变量变换 、线性方程及常数变易法
、恰当方程与积分因子、一阶隐方程与参数表示

考试要点

(1)掌握变量分离方程的解法 ，掌握可化为变量分离方程类型的解法
，理解齐次 、非齐次概念 。

(2)熟练掌握线性方程的常数变易法
。

(3)掌握积分因子法。

(4)掌握一阶隐方程和贝努利方程的解法 。

3、一阶微分方程的解的存在定理

考试内容

解的存在唯一性定理与逐步逼近办法
、解的延拓、解对初值的连续性和可微性定理
。

考试要点

(1)掌握Picard逐步逼近方法，理解解的存在唯一性定理。

(2)理解解的延拓 ，连续性
，可微性，唯一性 。

4 、高阶微分方程

考试内容

线性常微分方程的一般理论
、常系数线性方程的解法、高阶方程的讲解和幂级数解法。

考试要点

(1)熟悉线性微分方程的一般理论 ，会用常数变易法解非齐线性方程.

(2)掌握常系数线性方程的解法（会区分齐次与非齐次方程解之间的关系）
，以及欧拉方程的解法，了解拉普拉斯变换法
。

(3)理解掌握高阶方程的降阶和幂级数解法。

5 、线性微分方程组

考试内容

存在唯一性定理
、线性微分方程组的一般理论、常系数线性微分方程组 。

考试要点

(1)理解存在唯一性定理 、掌握线性微分方程组的一般理论
。

(2)掌握Picard逼近方法 ，基解矩阵的求法
，非齐线性微分方程组的常数变易公式。

(3)了解矩阵指数的定义及性质
、掌握基解矩阵的计算公式及拉普拉斯变换的应用 。

（4）会用消元法求解常系数线性微分方程组
。

6、参考书目

《常微分方程》，王高雄编 ，高等教育出版社

概率论部分

1 、随机事件及其概率

考试内容

事件的概念及其运算，概率的概念及其性质
、计算

考试要点

（1）理解随机事件的概念、概率的定义。

（2）掌握随机事件的运算法则 、概率的性质及其应用 。

（3）理解条件概率的概念
，掌握条件概率的计算公式；能利用乘法公式和事件的独立性计算积（交）事件的概率；能利用全概率公式和贝叶斯公式计算有关的概率问题；理解n重独立试验及n重贝努里（Bernoulli）试验的含义，并会利用二项概率公式计算在n重贝努里试验中 ，事件A恰好出现k次的概率
。

2、随机变量及其分布

考试内容

随机变（向）量的概念
、分布与数字特征、随机变量间的独立性

考试要点

（1）理解随机变（向）量的概念；掌握一般随机变（向）量 、离散型随机变（向）量和连续型随机变（向）量的分布的描述方法
、性质及其应用。会应用概率分布计算有关事件的概率 。

（2）掌握二项分布、泊松分布 、均匀分布
、正态分布、指数分布 、伽玛分布
、贝塔分布的概率分布、数学期望和方差；利用切比晓夫不等式估计有关事件的概率；会求随机变量的简单函数的分布；求给定分布的其他数字特征
。

（3）理解随机变（向）量间的独立性
，掌握其判别方法。掌握独立性的应用 。

3 、随机变（向）量的数字特征

考试内容

随机变（向）量的数字特征

考试要点

（1）理解随机变（向）量数字特征的概念；掌握离散型随机变（向）量和连续型随机变（向）量的数字特征计算方法
、性质及其应用。

（2）掌握二项分布、泊松分布 、均匀分布、正态分布
、指数分布、伽玛分布 、贝塔分布的概率分布
、数学期望和方差；利用切比晓夫不等式估计有关事件的概率；会求随机变（向）量函数的数字特征；求给定分布的其他数字特征
。

4、大数定律及中心极限定理

考试内容

随机变量序列的依概率收敛 、依分布收敛，大数定律
、中心极限定理

考试要点

（1）理解依概率收敛、依分布收敛的概念掌握常用判别方法。

（2）理解大数定律 、中心极限定理的概念 ，掌握其常用判别方法与应用
，能证明给定的随机变量序列服从大数定理；掌握欣钦大数定律
、马尔科夫大数定律及其应用；掌握林德伯格一列维中心极限定理（独立同分布的中心极限定理）和德莫佛—拉普拉斯定理（二项分布以正态分布为极限分布）及一般的独立不同分布中心极限定理及其应用 。

5、参考书目：

茆诗松，程依明 ，濮晓龙
，《概率论与数理统计教程》，高等教育出版社 ，2004