考研复习专业课#2021年湖南师范大学*泛函分析*硕士研究生入学考试考研大纲

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更新时间：2021/1/510:24:06

2021年湖南师范大学硕士研究生入学考试自命题科目考试大纲

考试科目代码：[]考试科目名称：泛函分析

一 、考试内容及要点

1
、距离空间和赋范线性空间

考试内容

（1）距离空间：距离空间的概念，距离空间中的开集闭集 ，稠密性与可分性
，连续映射的概念，距离空间中的完备性 ，列紧集
，紧集及其上连续映射，具体空间列紧集的判定定理 ，压缩映射原理及其应用。

（2）赋范线性空间：线性空间、范数 、赋范线性空间
、Banach空间等概念，赋范线性空间上范数的等价性
，常见的具体Banach空间及其常用的范数的定义 。

考试要点

（1）熟悉距离空间的概念和一些具体的距离空间；理解距离空间中的开集闭集，稠密集与空间的可分性；熟练掌握连续映射的概念、距离空间中的完备性 、列紧集和紧集以及其上连续映射的性质；掌握具体空间列紧集的判定法；熟练掌握压缩映射原理 ，并会用压缩映射原理分析映射的不动点
。

（2）理解线性空间、范数
、赋范线性空间等概念；掌握Banach空间、线性赋范空间上范数的等价性；熟悉某些常见Banach空间中常用的范数的定义。

2 、有界线性算子与连续线性泛函

考试内容

有界线性算子和连续线性泛函的概念和其性质
，线性算子空间
、共轭（对偶）空间，某些常见Banach空间的共轭空间 。

考试要点

掌握有界线性算子和连续线性泛函的概念和其性质 ，并会计算界线性算子和连续线性泛函的范数；理解线性算子的连续性和有界性
，熟悉算子空间、共轭（对偶）空间的基本性质和某些常见Banach空间的共轭空间
。

3 、Hilbert空间

考试内容

内积空间的基本概念与基本性质
、几何特征、正交系 、正规正交基
、正交化，Hilbert空间的同构 ，射影定理、Hilbert空间上的Riesz表示定理。

考试要点

熟悉内积空间的基本概念与基本性质 、几何特征；熟练掌握正交系
、正规正交基、正交化 、射影定理；理解Hilbert空间的同构、Hilbert空间上的Riesz表示定理 。

4
、Banach空间的基本定理

考试内容

Hahn-Banach延拓定理及其推论
，Riesz表示定理及应用，共轭算子及其性质 ，第一、第二纲的集
，纲定理，一致有界定理及应用 ，开映射定理，闭图象定理
，弱收敛和弱收敛。

考试要点

熟练掌握Hahn-Banach延拓定理的推论 、Riesz表示定理
、一致有界定理及应用、开映射定理 、闭图象定理；掌握共轭算子及其性质；理解Hahn-Banach延拓定理
、第一、第二纲的集；了解弱收敛和弱收敛
。

二 、参考书目：

[1]江泽坚，孙善利 ，泛函分析
，高等教育出版社。

[2]程其襄等，实变函数论与泛函分析基础 ，高等教育出版社 。