考研数学>线性代数#2016考研究生线性代数#解析行列式

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时间：2016-06-1813:44:22

在考试中 ，直接考查行列式的题目比较少
，多是以间接方式考查。

一 、知识点回顾

1.行列式本身知识点

(1)概念

对行列式的概念，考生应注意两点：行列式是一个数这个数是“不同行
、不同列、n项乘积的代数和 ” 。

(2)性质

对于行列式的性质 ，考生应明白
，这些性质是用来对行列式变形的，利用行列式的性质 ，可以将行列式变形成理想的形式，比如三角行列式
。

(3)展开定理

展开定理的作用是降阶
，可以将原来的n阶行列式展开成若干个n-1阶行列式。

2.行列式的应用

行列式跟后续很多章节都有联系 。比如：矩阵A可逆
。

二 、常见题型总结

1
、数值型行列式的计算

(1)低阶列式(三阶或四阶)

计算思路：展开定理、拉普拉斯展开定理 、利用范德蒙行列式。

其中，展开定理 ，适用于每行(列)最多有两个非零元的情形
，当非零元多于两个时，可以先利用行列式的性质 ，对其变形 。口诀：“找1、化0
、展开
”。

拉普拉斯展开定理适用于：0比较多
，但是排布比较复杂，可以先利用行列式的性质将0集中 ，然后再利用拉普拉斯展开定理展开
。

范德蒙行列式适用于：各行或各列成等比的情况。但是
，在使用范德蒙行列式时，需要先将所给行列式化成标准形式：第一行或者第一列的元素全为1 。

(2)高阶行列式的计算(n阶)

计算思路：三角化、展开定理
。

其中 ，可以使用三角化的题型有两种：爪型行列式与对角线型行列式。

对于爪型行列式
，直接进行三角化对角线型行列式，可以先化成爪型 ，再进行三角化 。

除此之外，我们还总结出
，计算n阶行列式的一个基本思想：化0
。对于n阶行列式，大的方向就是利用行列式的性质变形 ，使得行列式中出现很多0
，当0比较多时，再进行计算 ，就容易多了。

展开定理
，当n阶行列式，某一行(列)最多有两个非零元时 ，可以按照这一行(列)展开
，展开定理有两个作用：一 、过展开定理可以将行列式简化二
、可以得到递推公式 。特别是，对三线型行列式 ，可以过展开定理展开
，得到一个递推公式
。

2、抽象型行列式的计算

抽象型行列式计算题型有三种：

1)矩阵按列分块

计算思路有两个：一 、利用行列式的性质二
、分解成两个矩阵相乘的形式。

当矩阵按列分块，且每一列有两个或两个以上的向量组成时 ，可以先用行列式的性质对其变形，将其变成每一列只含一个向量的形式

或者
，可以利用矩阵的乘法，将其分解成两个矩阵相乘的形式 ，再利用公式 。

注意：第二种方法在使用时必须保证分解后的矩阵均为方阵才可以
，因为，只有方阵才可以求行列式
。

2)矩阵方程

计算思路：提公因式 ，同取行列式。

比如
，求矩阵A的行列式，就首先把A作为一个公因式 ，提取出来
，再在方程两边同取行列式即可 。

3)两矩阵和的行列式

有两种计算思路：a、合并b 、利用单位矩阵变形。

因为两矩阵和的行列式是没有公式的，当这两个矩阵有关联时 ，可以将其合并成一项
，求行列式当两个矩阵之间无关联时，可利用单位矩阵变形 ，令其中一个矩阵左乘或右乘一个单位矩阵，再将写成某一个矩阵与其逆矩阵乘积
。

4)利用特征值

　　矩阵的行列式等于矩阵所有的特征值之积。