考研数学>线性代数#2016考研究生数学线性代数#单位矩阵

类目：三人行考研网>考研数学>线性代数>正文

时间：2016-06-1814:22:29

l矩阵的定义

对于任意一个线性方程组(有N个未知数 ，M个方程
，N>m)用一个表将其表式出来，例如:〔1234〕.

l单位矩阵的定义

在矩阵的乘法中 ，有一种矩阵起着特殊的作用，如同数的乘法中的1
，我们称为单位矩阵，它是一个方阵除左上角到右下角的对角的元素均为1以外其余元素均为0.

l单位矩阵的性质

单位矩阵不可能是实数它与任何矩阵A乘积等于矩阵A ，这是有矩阵相乘得来的
，而不是因为把单位矩阵当作1。

l单位矩阵的应用与作用

1.单位矩阵与秩的关系

秩的定义：一个矩阵中不等于零的子式的最大阶数 。

例1

这个子式不等于0，且矩阵(3)中不含阶数大于r的子式 ，有秩的定义可知r是(3)的秩
。同时我们可以得出以下结论：

㈠矩阵的秩与单位矩阵在某种意义上是等价的

㈡要求矩阵的秩可以经过求单位矩阵得出

2.单位矩阵与解的关系

由上述(1)方程可得其增广矩阵为：

10……0C1
，r+1……C1nd1

01……0C2，r+1……C2nd2

00……1Cr ，r+1……Crndr

00……00……0dr+1

00……00……0dm

上述矩阵中若系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相同
，则此方程有解，否则无解。这是经过单位矩阵来判断的 。

3.单位矩阵的运算以及其逆运算

1.单位矩阵用In表示对于任意一个矩阵Anp ，Amn有

InAnp=AnpAmnIn=Amn

2.逆矩阵的定义

令A是数域F上一个N阶矩阵
，若是存在F上N阶矩阵B，使得

AB=BA=I

那么A就叫一个可逆矩阵 ，B就是A的逆矩阵。因此要求A的逆矩阵B，只需求出A&rarrI,就有I&rarrB
。从而的出B。

可知单位矩阵是求逆矩阵的桥梁

4.经过单位矩阵来判断向量空间的维数

可知单位矩阵秩为2
，维数为2.

2016年考研复习已经开始了，希望考生能够好好利用 ，做好规划 。三人行考研网推出2015考研
、系列备考专题
，针对每一个科目要点进行深入的指导分析，希望考生参考借鉴
。同时 ，三人行考研网还推出了
，不用出门就可以边听课边学习，提高复习效率。