考研数学>线性代数#考研究生数学#线性代数知识框架构建之一

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时间：2016-06-1815:10:25

线性方程组的特点：方程是未知数的一次齐次式
，方程组的数目s和未知数的个数n可以相同，也可以不同
。

关于线性方程组的解 ，有三个问题值得讨论：

(1) 、方程组是否有解
，即解的存在性问题

(2)
、方程组如何求解，有多少个解

(3)、方程组有不止一个解时 ，这些不同的解之间有无内在联系
，即解的结构问题。

高斯消元法，基础和最直接的求解线性方程组的方法 ，其中涉及到三种对方程的同解变换：

(1) 、把某个方程的k倍加到另外一个方程上去

(2)
、交换某两个方程的位置

(3)、用某个常数k乘以某个方程 。我们把这三种变换统称为线性方程组的初等变换
。

任意的线性方程组都可以过初等变换化为阶梯形方程组。

由具体例子可看出，化为阶梯形方程组后
，就可以依次解出每个未知数的值，从而求得方程组的解 。

对方程组的解起决定性作用的是未知数的系数及其相对位置 ，所以可以把方程组的所有系数及常数项按原来的位置提取出来
，形成一张表，过研究这张表 ，就可以判断解的情况
。我们把这样一张由若干个数按某种方式构成的表称为矩阵。

可以用矩阵的形式来表示一个线性方程组
，这至少在书写和表达上都更加简洁 。

高斯消元法中对线性方程组的初等变换，就对应的是矩阵的初等行变换。阶梯形方程组 ，对应的是阶梯形矩阵
。换言之
，任意的线性方程组，都可以过对其增广矩阵做初等行变换化为阶梯形矩阵 ，求得解。

阶梯形矩阵的特点：左下方的元素全为零
，每一行的第一个不为零的元素称为该行的主元 。