考研数学>高等数学#2018考研究生高数微分导数讲解

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时间：2017-08-1517:01:26

　　数学是考研各科中难度较大的一科 ，2018考研高数微分导数讲解
，一起来看下!

导数与微分

1、导数存在的充分必要条件：函数f(x)在点x0处可导的充分必要条件是在点x0处的左极限lim(h&rarr-0)[f(x0+h)-f(x0)]/h及右极限lim(h&rarr+0)[f(x0+h)-f(x0)]/h都存在且相等，即左导数f-&prime(x0)右导数f+&prime(x0)存在相等 。

2 、函数f(x)在点x0处可导=>函数在该点处连续函数f(x)在点x0处连续&ne>在该点可导
。即函数在某点连续是函数在该点可导的必要条件而不是充分条件。

3
、原函数可导则反函数也可导 ，且反函数的导数是原函数导数的倒数 。

4、函数f(x)在点x0处可微=>函数在该点处可导函数f(x)在点x0处可微的充分必要条件是函数在该点处可导。

导数的由来可是很深远的，它有两大背景
，一是几何背景，二是物理背景
。由来深远所以应用也广泛。高数中导数的出题比例较大 ，考生应着重学习 。

本文我们并不是要强调导数的背景
，当然几何背景大家都是熟知的，在这里是要跟同学们强调有关导数定义和求导数要注意的几点：

第一 ，理解并牢记导数定义
。导数定义是考研数学的出题点
，大部分以选择题的形式出题，01年数一考一道选题 ，考查在一点处可导的充要条件
，这个并不会直接教材上的导数充要条件，他是变换形式后的 ，这就需要同学们真正理解导数的定义
，要记住几个关键点：

1)在某点的领域范围内。

2)趋近于这一点时极限存在，极限存在就要保证左右极限都存在 ，这一点至关重要，也是01年数一考查的点
，我们要从四个选项中找出表示左导数和右导数都存在且相等的选项 。

3)导数定义中一定要出现这一点的函数值，如果已知告诉等于零 ，那极限表达式中就可以不出现
，否就不能推出在这一点可导，请同学们记清楚了
。

4)掌握导数定义的不同书写形式。

第二 ，导数定义相关计算 。这里有几种题型：1)已知某点处导数存在
，计算极限，这需要掌握导数的广义化形式 ，还要注意是在这一点处导数存在的前提下
，否则是不一定成立的
。

第三，导数 、可微与连续的关系。函数在一点处可导与可微是等价的 ，可以推出在这一点处是连续的
，反过来则是不成立的，相信这一点大家都很清楚 ，而我要提醒大家的是可导推连续的逆否命题：函数在一点处不连续，则在一点处不可导 。这也常常应用在做题中
。

第四
，导数的计算。导数的计算可以说在每一年的考研数学中都会涉及到，而且形式不一 ，考查的方法也不同 。要能很好的掌握不同类型题
，首先就需要我们把基本的导数计算弄明白：1)基本的求导公式。指数函数、对数函数
、幂函数、三角函数和反三角函数这些基本的初等函数导数都是需要记住的，这也告诉我们在对函数变形到什么形式的时候就可以直接代公式 ，也为后面学习不定积分和定积分打基础
。2)求导法则。求导法则这里无非是四则运算
，复合函数求导和反函数求导，要求四则运算记住求导公式复合函数要会写出它的复合过程 ，按照复合函数的求导法则一次求导就可以了
，也是经过这个复合函数求导法则，我们可求出很多函数的导数反函数求导法则为我们开辟了一条新路 ，建立函数与其反函数之间的导数关系
，从而也使我们得到反三角函数求导公式，这些公式都将要列为基本导数公式 ，也要很好的理解并掌握反函数的求导思路，在13年数二的考试中相应的考过
，请同学们注意 。3)常见考试类型的求导
。通常在考研中出现四种类型：幂指函数 、隐函数
、参数方程和抽象函数。这四种类型的求导方法要熟悉，并且可以解决他们之间的综合题 ，有时候也会与变现积分求导结合
，94年，96年 ，08年和10年都查了参数方程和变现积分综合的题目 。

第五
，高阶导数计算
。高阶导数的计算在历年考试出现过，比如03年 ，07年
，10年，都以填空题考查的 ，00年是一道解答题。需要同学们记住几个常见的高阶导数公式
，将其他函数都转化成我们这几种常见的函数，代入公式就可以了 ，也有经过求一阶导数，二阶
，三阶的方法来找出他们之间关系的 。这里还有一种题型就是结合莱布尼茨公式求高阶导数的，00年出的题目就是考察的这两个知识点
。

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