考研数学>高等数学#2016考研究生高等数学#牛顿-莱布尼茨公式.

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时间：2016-06-2015:22:32

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，考研数学考试综合性强、知识覆盖面广 、难度大，应及早复习为佳 。与考研英语相比 ，考研数学只要方法得当
，提得分数相对要快一些。高等数学是考研数学内容最多的一部分，所以高等数学的分量也就显得尤为重要
。

若函数f(x)在[a,b]上连续 ，且存在原函数F(x)
，则f(x)在[a,b]上可积，且

莱布尼茨公式

[1]

这即为牛顿–莱布尼茨公式。

理解：

比如路程公式：距离s=速度v时间t ，即s=vt
，那么如果t是从时间a开始计算到时间b为止，t=b-a ，而如果v不能在这个时间段内保持均速
，那么上面的这个公式(s=vt，t=b-a)就不能和谐的得到正确结果 ，于是引出了定积分的概念 。

那么如何在用积分得到上述路程公式呢?

公式

这个公式能表明路程s是每个不同速度时候行驶的时间和当前速度乘积的和
。

　　牛顿-莱布尼茨公式的意义就在于把不定积分与定积分联系了起来，也让定积分的运算有了一个完善、令人满意的方法。下面就是该公式的证明全过程：[title]对函数f(x)于区间[a,b]上的定积分表达为：[/title]b&intaf(x)dx

现在我们把积分区间的上限作为一个变量
，这样我们就定义了一个新的函数：

&Phi(x)=x&intaf(x)dx

但是这里x出现了两种意义，一是表示积分上限 ，二是表示被积函数的自变量
，但定积分中被积函数的自变量取一个定值是没意义的 。为了只表示积分上限的变动，我们把被积函数的自变量改成别的字母如t ，这样意义就非常清楚了：

&Phi(x)=x&intaf(t)dt

研究这个函数&Phi(x)的性质：　1
、定义函数&Phi(x)=x(上限)&inta(下限)f(t)dt
，则&Phi与格林公式和高斯公式的联系

’(x)=f(x)
。

证明：让函数&Phi(x)获得增量&Deltax，则对应的函数增量

&Delta&Phi=&Phi(x+&Deltax)-&Phi(x)=x+&Deltax(上限)&inta(下限)f(t)dt-x(上限)&inta(下限)f(t)dt

显然 ，x+&Deltax(上限)&inta(下限)f(t)dt-x(上限)&inta(下限)f(t)dt=x+&Deltax(上限)&intx(下限)f(t)dt

而&Delta&Phi=x+&Deltax(上限)&intx(下限)f(t)dt=f(&xi)·&Deltax(&xi在x与x+&Deltax之间
，可由定积分中的中值定理推得，

也可自己画个图 ，几何意义是非常清楚的。)

当&Deltax趋向于0也就是&Delta&Phi趋向于0时
，&xi趋向于x，f(&xi)趋向于f(x) ，故有lim&Deltax&rarr0&Delta&Phi/&Deltax=f(x)

可见这也是导数的定义,所以最后得出&Phi’(x)=f(x) 。

2、b(上限)&inta(下限)f(x)dx=F(b)-F(a)，F(x)是f(x)的原函数
。

证明：我们已证得&Phi’(x)=f(x)
，故&Phi(x)+C=F(x)

但&Phi(a)=0(积分区间变为[a,a]，故面积为0) ，所以F(a)=C

于是有&Phi(x)+F(a)=F(x)
，当x=b时，&Phi(b)=F(b)-F(a),

而&Phi(b)=b(上限)&inta(下限)f(t)dt ，所以b(上限)&inta(下限)f(t)dt=F(b)-F(a)

把t再写成x
，就变成了开头的公式，该公式就是牛顿-莱布尼茨公式。

高阶导数莱布尼兹公式

(uv)^(n)=&sum(n ，k=0)C(k,n)u^(n-k)v^(k)

注：

C(k,n)=n!/(k!(n-k)!)

^代表后面括号及其中内容为上标
，求xx阶导数

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