考研数学>高等数学#2016考研究生数学复习指导#多元函数积分学

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时间：2016-06-2015:57:33

多元函数积分学包括二重积分 、三重积分
、曲线积分和曲面积分 ，一直以来多元函数积分学积分都是考研高等数学的重点
，尤其是对数一、数三而言，更是重中之重 ，每年都至少会考一道大题
，选择填空的题目也是以各种各样的形式出现，所以对于多元函数积分学的知识点必须引起各位考生的重视 。

有很多同学认为多元函数积分学比较难 ，事实上如果大家感觉到难的话
，只能说你在上册数上欠的账太多了
。多元函数积分学的知识往往是起点比较高，但是落点比较低 ，只要你学好了一元函数积分学，那么多元函数积分学的知识只是手到擒来的事情。下面我就带着大家来看一下多元函数积分学的知识 。

二重积分是三重积分的基础
，是基于单积分发展起来的，它的几何意义就是求一个空间立体图形的体积
。在建立了二重积分概念以后 ，三重积分是其自然的推广
，没有本质折差别。在计算上看来，二重积分与三重积分都是最终化为定积分来计算的 ，但三重积分不论是采用"先二后一"还是"先一后二"
，都要过二重积分的计算，所以二重积分在多元函数积分学中有重要的作用 ，深入理解二重积分的概念
，熟练掌握二重积分的计算方法，是学好多元函数积分学的关键 。

三重积分是二重积分的进一步延拓 ，它的物理意义就是求一个空间立体图形的质量
。对三重积分来说
，计算的基本思路是转化为定积分，但计算的繁简取决于坐标系的选择 ，而坐标系的选择取决于积分区域的形状。一般来说，当积分区域是柱体 、锥体或由柱面
、锥面、旋转面与其他曲面所围成的空间立体时
，宜利用柱面坐标变换计算当积分区域是球体 、锥体或球本省的一部分时，宜利用球面坐标变换计算当积分区域是长方体
、四面体或任意形体时 ，宜利用直角坐标计算 。

曲线积分分为第一类曲线积分和第二类曲线积分
，它的物理意义分别是平面曲线或者空间曲线的质量和变力做功。曲面积分也分为第一类曲面积分和第二类曲面积分，它的物理意义分别是空间曲面的质量和过曲面的流量
。曲线积分和曲面积分是数学一试卷考试的重点 ，每年必考
，经常是以解答题的形式来考查，其中对坐标的曲线积分、对坐标的曲面积分考查最多 ，有的年份还会再考查一道客观题。

曲线积分和曲面积分这部分内容考试是以计算为主
，无论是曲线积分还是曲面积分，都可以将曲线方程(或者曲面方程)代入被积函数进行化简 ，原因是对于曲线积分和曲面积分我们只是在曲线上和曲面上积分
，而在曲线上 、曲面上各积分变量之间的关系是恒定的 。第一类曲线积分的性质与二重积分的性质类似，第一类曲面积分的性质与三重积分的性质类似 ，在计算时先利用性质化简，然后利用公式计算.第一类曲线积分和第一类曲面积分是不需要考虑方向的
，而第二类曲线积分和第二类曲面积分是有方向的，所以在计算时 ，一定要注意符号的问题
。

第一类曲线积分的计算主要是利用参数方程转化为定积分
，第二类曲线积分的计算除了利用参数方程进行求解，还有一个考试的重点方法是利用格林公式 ，这是考试的重点。在利用格林公式时
，一定要注意格林公式的条件 。若积分曲线不是封闭曲线，需要添加辅助曲线构成封闭曲线若所围的区域含有奇点(一阶导数不存在的点或者是不连续的点) ，则需要挖洞来挖掉奇点若封闭曲线不是正向边界曲线
，则需要出现负号
。

对于多重积分，考试的时候更多的是以计算题的形式出现 ，并且大家要熟知多重积分的计算方法和使用范围
，针对不同的题目使用不同的方法另外，做题的过程中大家一定要细心 ，多重积分的计算往往比较复杂、比较繁琐，所以需要大家拥有比较强的计算能力和比较高的计算效率。尤其是在曲线积分
、曲面积分中格林公式和高斯公式的应用
，一定要注意公式成立的条件，不要盲目的进行使用和计算 ，然而考试的过程中
，题目也往往利用大多数考生不注意格林公式和高斯公式的使用条件，在公式的使用条件上为各位考生设置陷阱 。

在多重积分的计算和考试过程中 ，有很多的考生因为不能画出积分区域而无法进行计算
，这一点需要考生熟悉解析几何的知识，另外有一些题目也确实画不出积分区间 ，这个时候需要各位考生注意到被积函数的性质
，如对称性等
。

以上就是针对多元函数积分学的知识我为大家做到点拨，希望可以帮到大家。