考研数学>高等数学#根据导数图像确定函数的极值和拐点个数

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时间：2016-06-2017:25:56

在解答这个问题之前 ，我们先来回顾一下
，什么叫做函数的极值点和拐点，所谓极值点指的是函数在该点的某个邻域内取得最值的点 ，对于可导的函数而言，首先需要找出导数为零的点
，随后依次检验这些点，如果在该点的左右两侧导数的符号改变 ，或者二阶导不为零
，则该点为极值点，进一步说 ，二阶导大于零的点为极小值点
，二阶导小于零的点为极大值点拐点指的是连续函数的凹凸性改变的点，也可以看作是导函数的极值点 ，是导函数单调性的分界点
，左右两边二阶导数符号不同 。对于可导的函数而言，拐点处二阶导必为零 ，且三阶导不为零
。

所以
，对于一个函数来说，已知该函数的导函数的图像 ，就可以过图像的特殊点和变化趋势，找出极值点和拐点。

例如
，2003年考研数一就对该知识点进行了考查，题目已知函数在整个实数集上连续 ，下图为其导函数
，求函数的极值点和拐点的个数 。首先，我们来分析极值点 ，极值点指的是导数为零的点
，或者不可导点，过该图 ，我们可以看出导数为零的点有三个分别是图中的点1 、点3
、点5
，其中，点3和点5处导数从负数变为正数 ，说明函数先减小后增加
，为此这两个点均为极小值点，点1处导数由正变负 ，说明函数先增大后减小，即在该点处取得极大值
。此外
，在点4处函数是不可导的，但是该点处左右导数分别为正无穷和负无穷 ，也就是说在该点处函数值先增加后减小
，可见该点处函数为极大值点，所以可知函数的极值点中 ，极大值点有两个
，极小值点有两个。

这道题中，首先我们先找函数的驻点 ，找到了四个驻点
，之后一一检查，分析驻点附近导数的符号变化情况 ，以最终确定函数的极值点 。

考试中本题只对极值点进行了考查
，下面根据这个图，我们来找一下函数的拐点个数。前面说过 ，对于可导函数而言，拐点处的二阶导为零
，从图中可以看出在点2和点4处函数可能为拐点，点2处 ，导函数的导数为零
，即二阶导为零，或者说该点处导函数的单调性改变 ，则该点是函数的拐点
。点4的附近
，可以看出导函数先增加后减小，导数的单调性改变 ，则该点为函数的拐点。

过上述分析可知
，极值点和拐点实际就是代表着函数与导函数单调性变化的