考研数学>高等数学#考研究生数学高等数学复习指导#矩阵对角化

类目：三人行考研网>考研数学>高等数学>正文

时间：2016-06-2017:38:24

重要定理：若n阶矩阵A可以对角化，则对角矩阵Λ的n个主对角线元素必是A的n个特征值λ1 ，λ2
，…，λn(包括重根) ，其相似变换矩阵P的n个列向量X1
，X2，… ，Xn是A的分别属于λ1
，λ2，… ，λn的特征向量，且X1
，X2，… ，Xn线性无关
，即有：P-1AP=Λ，其中Λ=diag(λ1 ，λ2
，…，λn),P=(X1 ，X2
，…，Xn)为可逆阵 ，且AXj=λXj(j=1,2,…,n).

并非所有的n阶矩阵都可对角化
，只有满足一定条件的矩阵才可对角化，下面是几个相关结论：

结论1：n阶矩阵A可以对角化的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量 。

结论2：若n阶矩阵A有n个两两不同的特征值 ，则A必可对角化
。

结论3：设λi是矩阵A的任一个特征值，其代数重数为ni(即λi是ni重特征值)
，其几何重数为mi(即属于λi的线性无关的特征向量的最大个数，也是齐次线性方程组(λiE-A)X=0的基础解系中的向量个数 ，mi=n-r(λiE-A)),则恒有mi≤ni。

结论4：设n阶矩阵A的两两不等的特征值为λ1
，λ2，… ，λs(1≤s≤n)
，则矩阵A可对角化的充分必要条件是，对A的每一个特征值λi ，都有mi=ni(i=1,2
，…，s) 。