考研数学>高等数学#高等数学多元函数积分学考点分析

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时间：2016-06-2017:41:14

本部分考查的重点内容和能力主要有：

1.二重积分的概念性质和几何意义，包括：

(1)能够写出在简单积分区域上二重积分的定义式 ，并可以将极限形式转化成积分形式 。

(2)能够利用性质比较二重积分的大小
。

2.二重积分在直角坐标系和极坐标系下的计算。

(1)掌握基本计算方法和公式，能够在直角坐标系下选择合适的积分次序将二重积分转化为二次积分
，得到二重积分的值 。

(2)清楚在什么情形下使用极坐标计算二重积分，并能够准确计算。

(3)能够将直角坐标系下的二重积分与极坐标系下的二重积分在形式上互相转换 ，进而计算二重积分
。

(4)分段函数的二重积分
，能够利用分段函数分割积分区域，继而利用二重积分对积分区域的可加性进行计算。

3.二重积分的对称性 ，能够利用奇偶对称性 、轮换对称性简化计算
，这也是常考的方法 。

[注]：以下内容数二和数三同学不考
。

4.三重积分在各种坐标系下的计算。

(1)根据积分区域和被积函数的形式选择适当的坐标进行计算 。

(2)能够利用奇偶对称性、轮换对称性简化计算
。

5.能够在积分曲线用不同形式方程表示时计算第一型曲线积分，并能够利用奇偶对称性
、轮换对称性简化计算。

6.能够在积分曲面用不同形式方程表示时计算第一型曲面积分 ，利用奇偶对称性、轮换对称性简化计算 。

7.第二型曲线积分的计算
。

(1)能够在积分曲线用不同形式方程表示时计算第二型曲线积分。

(2)重点掌握平面上曲线积分与路径无关的条件
，会判断平面上曲线积分是否与路径无关，如果与路径无关 ，会通过计算曲线积分求出二元函数全微分的原函数 。

(3)注意格林公式的条件与结论
，能够熟练运用格林公式进行计算
。

(4)两类曲线积分的关系，主要是能够将第二型曲线积分转化为第一型曲面积分。

(5)会用斯托斯公式计算空间第二型曲线积分 。

8.第二型曲面积分的计算。

(1)能够在积分曲面用不同形式方程表示时计算第二型曲面积分
。

(2)注意高斯公式的条件与结论 ，能够熟练运用高斯公式进行计算。

(3)两类曲面积分的关系，主要是能够将第二型曲面积分转化为第一型曲面积分 。

9.记住散度与旋度的计算公式并能够综合计算
。

10.重积分 、曲线积分
、曲面积分在几何形体上的应用。

(1)几何应用：会计算平面图形的面积、立体的体积 、曲面的面积
、曲线的弧长 。

(2)物理应用：质量、形心 、转动惯量
、引力、功及流量
。

同学们在复习时
，把握这部分内容整体的方向，二重积分得计算是考查的重点 ，三重积分及曲线曲面积分的计算是数一同学考查的难点。