2021考研大纲#2021年上海应用技术大学数学分析考研究生大纲

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《数学分析》考试大纲

1.实数集与函数

(1)掌握集合的概念与运算，区间与邻域。理解映射与一一对应概念 。了解几个重要不等式。理解确界原理
。

(2)掌握函数概念。掌握复合函数方法 。了解反函数存在定理
。理解初等函数。

(3)掌握函数的几种特性(单调性 、有界性、奇偶性
、周期性等)

2.数列极限

(1)理解数列极限概念 。

(2)掌握收敛数列的性质
。理解数列极限存在的条件。

3.函数极限

(1)理解函数极限概念 ，掌握ε-δ论证方法 。

(2)掌握函数极限的性质
。理解函数极限存在的条件。

(3)掌握两个重要极限的应用 。

(4)掌握无穷小与无穷大概念
。

4.函数的连续性

(1)理解函数的连续与间断概念。

(2)了解连续函数的性质 。了解复合函数与反函数的连续性。理解闭区间上连续函数的性质
。

(3)理解函数的一致连续性。理解初等函数的连续性 。

5.导数和微分

(1)掌握导数概念
。

(2)掌握求导法则与导数计算。

(3)理解微分概念 。

(4)理解高阶导数与高阶微分

6.微分中值定理及其应用

(1)理解Rolle中值定理，Lagrange中值定理
，Cauchy中值定理
。

(2)掌握Taylor公式和L’Hospital法则。

(3)理解函数的凸性及其性质 。

(4)掌握利用导数研究函数的性态及函数作图
。

7.实数的完备性

(1)理解子列概念。理解致密性定理，区间套定理 ，有限覆盖定理 。理解实数连续性定理的等价性
。

(2)了解上、下极限概念。

8.不定积分

(1)理解原函数与不定积分概念 。掌握基本积分公式和不定积分的运算法则。

(2)掌握换元积分法与分部积分法
。

(3)掌握有理函数的不定积分
，三角函数的不定积分和某些无理函数的不定积分。

9.定积分

(1)理解定积分概念 。掌握Newton-Leibniz公式
。

(2)了解Darboux上 、下和与Darboux上
、下积分。理解可积充要条件和可积函数类 。

(3)理解定积分性质
。掌握变限积分及其性质。理解积分中值定理 。

10.定积分的应用

(1)理解微元法的基本思想
。掌握用定积分计算几何问题(平面图形面积，已知截面函数的立体体积 ，平面曲线弧长
，旋转体的体积与侧面积)。

(2)掌握定积分计算物理问题(变力做功，侧压力 ，质量与质心计算
，引力问题) 。掌握曲率计算
。了解定积分的近似计算。

11.反常积分

(1)理解反常积分概念

(2)理解无穷积分与瑕积分的收敛与发散概念 。掌握敛散性判别法(比较法、Cauchy收敛准则 、Dirichlet判别法与Abel判别法)。

12.数项级数

(1)理解级数的收敛与发散概念
。理解收敛级数的性质，Cauchy收敛准则。掌握正项级数的判别方法(基本定理 ，比较法
、比值法、根值法 、积分法) 。

(2)理解绝对收敛与条件收敛
。掌握交错级数的Leibniz判敛法
，任意项级数的Dirichlet判别法与Abel判别法。

(3)了解级数的重排，级数的乘法 ，无穷乘积 。

13.函数列与函数项级数

(1)理解点态收敛与一致收敛概念
。掌握函数列与函数级数一致收敛及判别法。

(2)理解一致收敛函数列与函数级数的分析性质 。

14.幂级数

(1)掌握幂级数的收敛半径的求法，收敛区间与收敛域
。

(2)掌握幂级数的和函数计算。掌握函数的幂级数展开式 。

15.傅里叶级数

(1)理解傅里叶级数的概念
。会将函数展开为傅里叶级数。

(2)理解以2L为周期的函数的傅里叶级数展开式 。

16.多元函数的极限与连续

(1)理解平面点集
，平面点列极限。了解R2上完备性定理
。理解多元函数概念。

(2)掌握二元函数的极限与连续 。理解有界闭区域上连续函数的性质
。

17.多元函数微分学

(1)理解偏导数与全微分的概念。掌握偏导数与全微分的计算 。

(2)掌握复合函数的微分法，及方向导数与梯度的计算
。

(3)理解多元函数的Taylor公式。

(4)掌握二元函数的极值与最值 。

18.隐函数存在定理及其应用

(1)理解隐函数概念
。理解隐函数存在定理。

(2)掌握隐函数的微分法 。了解隐函数组概念和存在定理
。

(3)掌握空间曲线的切线和法面 ，空间曲面的切面和法线。

(4)掌握条件极值与Lagrange乘数法
，最小二乘法 。

19.含参变量积分

(1)理解含参变量常义积分的分析性质。

(2)理解含参变量反常积分的一致收敛性概念
。

(3)掌握一致收敛性判别法。理解一致收敛性积分的分析性质及其应用 。

(4)了解Euler积分
。

20.曲线积分

(1)理解两类曲线积分的概念与性质。

(2)掌握两类曲线积分的计算 。

(3)了解两类曲线积分的联系
。

21.重积分

(1)理解二重积分概念。理解可积性充要条件 。了解重积分的基本性质
。理解三重积分概念。

(2)掌握二重积分与三重积分的计算，理解重积分的变量替换 。

(3)掌握格林公式
。理解曲线积分与路径无关的条件。

(4)掌握极坐标
、柱面坐标与球面坐标的计算法 。

(5)掌握重积分的几何应用与物理应用。

22.曲面积分

(1)理解两类曲面积分的概念与性质
。

(2)掌握第一类曲面积分的计算。

(3)理解曲面的侧 ，掌握第二类曲面积分的计算 。

(4)了解两类曲面积分的联系
。

(5)掌握Gauss公式和Stokes公式。

参考资料书：

《数学分析》(第4版
，上、下册)华东师范大学数学系高等教育出版社2010

《吉米多维奇数学分析习题集题解》(一至六册)费定晖等，山东科学技术出版社2012