联考综合>复习指导#联考数学线性代数复习方法

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时间：2016-06-1711:17:58

一
、“早 ”.提倡一个“早
”字 ，是提醒考生考研数学备考要早计划、早安排 、早动手.因为数学是一门思维严谨
、逻辑性强、相对比较抽象的学科.和一些记忆性较多的学科不同
，数学需要理解的概念多，方法又灵活多变 ，而理解概念
，特别是理解比较抽象的概念是一个渐近的过程，它需要思考 、消化 ，需要琢磨、需要从不同的角度
、不同的侧面的深入研究，总之它需要时间
，任何搞突击，搞速成的思想不可取 ，这对大多数考生而言
，不可能取得成功另一方面，早计划、早安排 、早动手是采取“笨鸟先飞”之策 ，这是考研的激烈竞争现实所要求的
，早一天准备，多一分成绩 ，多一份把握
，现在不少大一
、大二的在校生已经在准备2～3年后的考研，这似乎是早了点 ，但作为一个目标、作为一个追求
，无可非议.作为2015年的考生，从现在开始备考 ，恐怕已经不算太早了.

二 、“纲 ”.突出一个纲字，就是要认真研究考试大纲
，要根据考试大纲规定的考试内容
、考试要求、考试样题有计划地 、认真地
、地、系统地复习备考，加强备考的针对性.

由于全国基础数学教材(高等数学 ，线性代数
，概率论和数理统计)并不统一，各学校 、各专业对这些课程要求的层次也各不相同 ，因此教育部并没有指定统一的教材或参考书作为命题的依据
，而是以教育部制定的《全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲》(下称《大纲》)作为考试的法规性文件，命题以《大纲》为依据 ，考生备考复习当然也应以《大纲》为依据.

为了让广大考生对“考什么
”有一定的了解(不是盲目的备考)
，教育部考试中心命制的试题，每年都具有稳定性
、连续性的特点.《大纲》提供的样题及历届试题也在于让考生了解“考什么”.历届试题中 ，从来没有出过偏题、怪题
，也没有出过超过大纲范围的超纲题.当然，一份好的试题 ，首先要有好的区分度，使高水平考生考出好成绩
，因此试题中难 、易试题要有恰当的搭配试题的总量必须有一定的限制，同时试题还要有尽可能大的覆盖面 ，因此一味地去做难题
，甚至怪题、偏题是不可取的，“题海战术 ”不能替代
、系统的复习 ，由于试题有极大的覆盖面
，每年试题几乎都要覆盖所有的章节，因此偏废某部分内容也是不恰当的.任何“猜题”及侥幸心理都会导致失败.只有根据大纲 ，、系统地复习
，不留遗漏，才不会留下遗憾.

请广大考生留意 ，今年《大纲》有一定的变化：所有的近似计算取消了
，特别是数学试卷二，“线性代数初步
”中取消了“初步”两字 ，增考了“特征值 、特征向量 ”一章的内容.

三
、“基
”.强调一个“基”字，是指要强调数学学习中的三基
，即要重视基本概念的理解，基本方法的掌握 ，基本运算的熟练.

基本概念理解不透彻
，对解题会带来思维上的困难和混乱.因此对概念必须搞清它的内涵，还要研究它的外延 ，要理解正面的含义
，还要思考、理解概念的侧面 、反面.例如关于矩阵的秩，教材中的定义是：A是阴Xn矩阵 ，若A中有一个r阶子式不为零
，所有r阶以上子式(如果它还有的话)均为零，则称A的秩为r ，记成rank(A)：r(或r(A)=r
，秩A=r).显然，定义中内涵的要点有：1.A中至少有一个r阶子式不为零2.所有r阶以上均为零.3.若所有r+1子式都为零 ，则必有所有r阶以上子式均为零.要点2和3是等价条件，至于r阶子式是否可以为零?小于r阶的子式是否可以为零?所有r-1阶的子式是否可以全部为零?这些都是秩的概念的外延内容
，如果这些概念搞清楚了 。那么下述选择题就会迎刃而解.

例1设A是m&timesn矩阵，r(A)=r

(A)至少有一个r阶子式不为零 ，没有等于零的r-1阶子式.

(B)有不等于零的r阶子式
，没有不等于零的r+1阶子式.

(C)有等于零的r阶子式，没有不等于零的r+1阶子式.

(D)任何r阶子式不等于零 ，任何r+1阶子式都等于零.

答案：(B)

基本方法要熟练掌握.熟练掌握不等于死记硬背
，相反要抓问题的实质，要在理解的基础上适当记忆.把需要记忆的东西缩小到最低限度 ，很多方法可以经过练习来记住
，例如一个实对称矩阵，一定存在正交矩阵 ，经过正交变换化为对角阵
，其步骤较多，但经过练习 ，不难解决.

基本计算要熟练.学习数学，离不开计算
，计算要熟练，当然要做一定数量的习题 ，经过一定数量的习题
，把计算的基本功练扎实.在练习过程中，自觉的提高运算能力 ，提高运算的准确性
，养成良好的运算习惯和科学作风.特别对线性代数而言，运算并不复杂 ，大量的运算是大家早已熟练了的加法和乘法
，从而养成良好的运算习惯和科学作风显得尤为重要
。例如线性代数的前四章中(行列式
、矩阵、向量 、方程组)绝大多数的运算是初等变换.用初等变换求行列式的值
、求逆矩阵、求向量组(或矩阵)的秩 、求向量组的极大线性无关组
、求方程组的解等.可以想象，一旦初等变换过程中出现某个数值计算错误 ，那你的答案将是什么样的结果?从历届数学试题来看
，每年需要经过计算得分的内容均在70%左右，可见计算能力培养的重要.只听(听各种辅导班)不练 ，只看(看各类辅导资料)不练，眼高手低
，专找难题做，这并不适合一般考生的情况 ，在历届考生中
，不乏有教训惨痛的人.

四、“活 ”.线性代数中概念多 、定理多、符号多
、运算规律多，内容相互纵横交错 ，知识前后紧密联系是线性代数课程的特点
，故考生应经过系统的复习，充分理解概念 ，掌握定理的条件、结论及应用
，熟悉符号的意义，掌握各种运算规律 、计算方法 ，并及时进行总结
，抓联系，抓规律 ，使零散的知识点串起来
、连起来，使所学知识融会贯通
，实现一个“活
”字.

线性代数各章节的内容，不是孤立割裂的 ，而是相互渗透、紧密联系的.如A是n阶方阵
，若，|A|&ne0(称A为非奇阵).A是可逆阵.有n阶方阵B ，使得AB=BA=E.B=A-1=A/|A|.r(A)=n(称A是满秩阵).存在若干个初等阵P1
，P2，… ，PN
，使得PNPN-1…P1A=E.(A┆E)&rarr(E┆A-1).A可表示成若干个可逆阵的乘积.A可表示成若干个初等阵的积。A的列向量组线性无关(列满秩).AX=0，唯一零解.A的行向量组线性无关(行满秩).A的列(行)向量组是Rn空间的基.任何n维列向量b均可由A的列向量线性表出(且表出法唯一).对任意的列向量b ，方程组AX=b有唯一解
，且唯一解为A-1bA没有零特征值，即&lambdai&neO ，i=1，2
，…，n.O ，又XT(一B2)X=XTBTBX=(BX)TBX&ge0.

故有XT(A-B2)X=XT(A+(-B)B)X=XT(A+BTB)X=XTAX+(BX)TBX>O.

所以A-B2是正定阵.

变式(1)已知A是n阶正定阵
，B是n阶反对称阵.证明A-B2是可逆阵.v这个变式要求证明A-B2可逆，但已知A正定.为了利用已知条件 ，还可以想到A-B2是否正定
，即若证明了A-B2正定，自然也就证明了A-B2可逆.

变式(2)已知B是n阶反对称阵 ，E是n阶单位阵
，证明E-B2可逆.

这个变式中，隐去了A是正定阵的条件 ，而是给了一个具体的正定阵E
，要求想到用证正定的角度来证E-B2可逆，难度就相当大了 ，这需要经验的积累和总结.

由于知识间的广泛联系和相互渗透，给不少题的一题多解创造了条件.你可以从各个不同的角度去研究试题
，找到一个合适的切入点，从而最终找到问题的答案.

总之 ，重视三基
，重视各章节之间的联系，重视从多角度研究试题 ，重视灵活性和综合性
，重视应用，是取得理想成绩的必由之路 。