联考综合>经济类数学#经济类数学指导#简单递推数列通项公式的通用解法

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时间：2016-06-1814:37:16

1、已知A1=1，A(N)=2A(N-1)+1 ，求数列通项公式

解：由题意
，A(N)+1=2[A(N-1)+1]

即A(N)+1是以2为首项，2为公比的等比数列

因此A(N)+1=2^N

数列通项公式为A(N)=2^N-1

2 、通用算法

已知A1=M ，A(N)=P*A(N-1)+Q
，P《》1，求数列通项公式

解：设A(N)+X=P*[A(N-1)+X]

解得X=Q/(P-1)

因此A(N)+Q/(P-1)是以A1+Q/(P-1)为首项 ，P为公比的等比数列

由此可算出A(N)通项公式

3
、已知A1和A2
，A(N)=P*A(N-1)+Q*A(N-2)，求数列通项公式

解题思路：设A(N)+X*A(N-1)=Y*[A(N-1)+X*A(N-2)]

代入原式可得出两组解 ，对两组X，Y分别求出

A(N)+X*A(N-1)的通项公式

再解二元一次方程得出A(N)

注：可能只有一组解
，但另有解决办法。

4、现在用上面的思路来解决一个著名的问题：

N个球和N个盒子分别编号从1到N，N个球各放入一个盒子 ，求没有球与盒子编号相同的放法总数 。

解：设A(N)为球数为N时满足条件的放法(以下称无配对放法)总数
，

易知A1=0，A2=1

当N》2时 ，一号球共有N-1种放法
，假设1号球放入X号盒子

在剩下的N-1个球和N-1个盒子中，如X号球正好放入1号盒子 ，

问题等价于有N-2个球的无配对放法
，放法总数为：A(N-2)

在剩下的N-1个球和N-1个盒子中，如X号球没有放入1号盒子 ，

则可以把X号球看作1号球
，问题等价于有N-1个球的无配对放法，

放法总数为：A(N-1)

因此有A(N)=(N-1)*[A(N-1)+A(N-2)]

上式可变换为：A(N)-NA(N-1)

=-[A(N-1)-(N-1)*A(N-2)]

按等比数列得出：A(N)-NA(N-1)=(-1)^N

上式除以N!得出：

A(N)A(N-1)(-1)^N

-------=----------------+-----------------

N!(N-1)!N!

把A(N)/N!当作新的数列 ，把(-1)^N/N!也作为一个数列

则A(N)等于数列(-1)^N/N!从第二项到第N项的和再乘以N

另外可得出：

N球恰有K球与盒子配对的放法总数为：C(N，K)*A(N-K)