联考综合>初等数学#2021考研究生管综初数强化备考#浅析初等变换与初等矩阵

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时间：2020-09-0818:50:40

线性代数是考研数学必考的小学科 ，所占分值为34分左右 。矩阵是该门学科的研究对象
，地位相当于高数中的函数，后续研究工作都是围绕矩阵展开的 ，因此
，我们不仅需要掌握矩阵最基本的运算，还需掌握矩阵的初等变换以及初等矩阵的相关知识点
。该考点本身很重要 ，此外，又延伸出若干性质亦是高频考点
，考生务必掌握：

该考点本身很重要，此外 ，又延伸出若干性质亦是重要考点
，考生务必掌握：

初等变换：初等变换分为初等行变换与初等列变换两大类，其中初等行变换又分为以下三种类型：

（1）交换矩阵的任意两行；

（2）矩阵的某行乘以非零k倍；

（3）矩阵的某行乘以k倍加到另外一行。

矩阵的初等列变换三种类型同上 ，本文就不一一赘述 。

重要考点：

（1）矩阵进行初等变换后不改变矩阵的秩
。

（2）计算线性方程组需要对矩阵进行初等行变换。注：矩阵固然存在初等列变换
，但是，在高斯消元法的过程当中 ，我们仅仅可以用初等行变换
，否则，所计算方程组与原式不是同解方程组 。

（3）求三阶以上的数值型矩阵的逆矩阵时 ，亦需要用到矩阵的初等行变换这一工具（仅为初等行变换）。

（4）求向量组的极大线性无关组时
，需要对该向量组成的矩阵进行初等行变换（仅为初等行变换）
。

初等矩阵：单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵叫做初等矩阵。

重要考点：

（1）初等矩阵是可逆的，因此 ，一系列的初等矩阵也是可逆的，故一个矩阵可逆当且仅当该矩阵可以写成若干个初等矩阵的乘积 。乘以可逆矩阵不改变矩阵的秩
。

（2）左行右列法则：矩阵左乘以初等矩阵就等于对矩阵进行一次初等行变换
，矩阵右乘初等矩阵，就等于对该矩阵进行一次初等列变换 ，该定理简化了用矩阵乘法定义运算的过程。然而左行右列的定理为进行一次初等变换
，相对简单，接下来 ，我们对该定理进行推广
，若矩阵左乘可逆矩阵，就等于对该矩阵进行若干次初等行变换 ，同理
，若矩阵右乘可逆矩阵，那么就相当于对该矩阵进行若干次的初等列变换 。