联考综合>初等数学#2018考研究生联考初数绝对值问题

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时间：2017-08-3119:21:02

2018考研联考初数绝对值问题 ，希望对大家有帮助
，一起来看看吧 。

篇一:绝对值函数的问题解决

绝对值函数的问题解决

张家港高级中学储聪忠

有一道某地高三模拟考试题，涉及到绝对值函数 ，用来说明数学中的分类讨论思想非常有代表性
。[)

试题已知函数f(x)?x2?1，g(x)?a|x?1|.

(1)若关于x的方程|f(x)|?g(x)只有一个实数解
，求实数a的取值范围

(2)若当x?R时，不等式f(x)?g(x)恒函数成立 ，求实数a的取值范围

(3)求函数h(x)?|f(x)|?g(x)在区间[-2,2]上的最大值(直接写出结果
，不需给出演算步骤)...

解答

(1)方程|f(x)|?g(x)，即|x2?1|?a|x?1| ，变形得|x?1|(|x?1|?a)?0
，显然，x?1已是该方程的根 ，从而欲原方程只有一解
，即要求方程|x?1|?a，有且仅有一个等于1的解或无解 ，结合图形得a?

(2)不等式f(x)&geg(x)对x?R恒成立
，即(x2?1)&gea|x?1|()对x?R恒成立，①当x?1时 ，()显然成立，此时a?R

绝对值函数绝对值函数的问题解决

x2?1x2?1?x?1,(x?1),②当x?1时
，()可变形为a?，令?(x)???|x?1||x?1|??(x?1),(x?1).

因为当x?1时 ，?(x)?2
，当x?1时，?(x)??2 ，

所以?(x)??2
，故此时a&le?2.

综合①②，得所求实数a的取值范围是a&le

?2.

?x2?ax?a?1,(x&ge1),?(3)因为h(x)?|f(x)|?g(x)?|x2?1|?a|x?1|=??x2?ax?a?1,(?1&lex?1),

?x2?ax?a?1,(x??1).?

①当a?1,即a?2时 ，结合图形可知h(x)在[?2,1]上递减
，在[1,2]上递增，2

且h(?2)?3a?3,h(2)?a?3 ，经比较
，此时h(x)在[?2,2]上的最大值为3a?3.②当0&le&le1,即0&lea&le2时，结合图形可知h(x)在[?2,?1] ，[?,1]上递减，aa

22

aa2a?a?1
，在[?1,?]，[1,2]上递增 ，且h(?2)?3a?3,h(2)?a?3
，h(?)?242

经比较，知此时h(x)在[?2,2]上的最大值为3a?3.

③当?1&le?0,即-2&lea?0时 ，结合图形可知h(x)在[?2,?1]
，[?,1]上递减，aa

22

aa2a?a?1 ，在[?1,?]
，[1,2]上递增，且h(?2)?3a?3,h(2)?a?3 ，h(?)?242

经比较
，知此时h(x)在[?2,2]上的最大值为a?3.

④当?&le3

2aaa??1,即-3&lea??2时，结合图形可知h(x)在[?2,] ，[1,?]上递减，222

绝对值函数绝对值函数的问题解决

在[,1]
，[?,2]上递增，且h(?2)?3a?3?0,h(2)?a?3&ge0 ，经比较
，知此时h(x)在[?2,2]上的最大值为a?3.当a2a2a3??,即a??3时，结合图形可知h(x)在[?2,1]上递增 ，在[1,2]上递减
，22

故此时h(x)在[?2,2]上的最大值为h(1)?0.

综上所述，

当a&ge0时 ，h(x)在[?2,2]上的最大值为3a?3

当?3&lea?0时
，h(x)在[?2,2]上的最大值为a?3

当a??3时，h(x)在[?2,2]上的最大值为