考研大纲>专业课大纲#南方科技大学2019年硕士研究生入学线性代数考试大纲

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时间：2020-06-2210:52:16

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南方科技大学

2019年硕士研究生入学考试大纲

考试科目名称：线性代数考试科目代码：

一、考试要求

1）要求考生熟练掌握线性代数的基本概念 、基本理论和基本方法 。

2）要求考生具有严格的数学论证能力、举反例能力和基本计算能力。

3）要求考生具备应用线性代数解决实际问题能力
。

二
、考试内容

1）多项式

a.多项式无重因式的充要条件，复数域及实数域上多项式因式分解理论。

b.多项式的欧几里得除法 。

2)行列式

a.行列式的概念
，行列式的子式，余子式及代数余子式的概念
。

b.行列式的性质 ，按行、列展开定理
，Cramer法则，行列式乘法公式。

c.计算行列式的基本方法 。3）线性方程组

a.高斯消元法 、初等变换求解线性方程组的方法
。

b.向量线性相关
、线性无关 ，向量组等价
，极大无关组，向量组的秩 ，矩阵的秩
，基础解系，解空间等概念。

c.线性方程组有解判别定理、线性方程组解的结构 。

4)矩阵

a.矩阵 ，对角矩阵 、三角矩阵
、对称阵、反对称阵的概念及其性质
。

b.矩阵的线性运算 、乘法
、转置
，以及它们的运算规律。

c.逆矩阵的概念，逆矩阵的性质以及矩阵可逆的充要条件 ，伴随矩阵的概念，伴随矩阵的性质 。

d.矩阵的初等变换
，初等矩阵的性质，用初等变换法求矩阵的秩及逆矩阵
。

e.分块矩阵 ，分块阵的运算及初等变换。5）二次型

a.二次型的概念及二次型的矩阵表示
，二次型秩的概念，二次型的标准形、规范形的概念及惯性定律 。

b.用合同变换 、正交变换化二次型为标准形的方法。

c.二次型和对应矩阵的正定
、半正定、负定 、半负定及其判别法
。

6)线性空间

a.线性空间 ，子空间
，生成子空间，基底 ，维数
，坐标，过渡矩阵 ，子空间的和与直和等概念。线性空间同构的概念 。

b.基扩张定理
，维数公式，直和的充要条件
。7）线性变换

a.线性变换 ，特征值，特征向量
，特征多项式，特征子空间 ，不变子空间
，线性变换的矩阵，相似变换 ，相似矩阵
，线性变换的值域与核，Jordan标准形 ，最小多项式等概念与计算。

b.线性变换的性质
，相似矩阵的性质，核空间与值域的性质 ，不变子空间的性质 。

Cayley-Hamilton定理
，广义特征子空间直和分解，最小多项式理论
。

c.线性变换的矩阵表示方法 ，线性变换的特征值、特征向量的方法，矩阵可相似对角化的条件与方法
，线性变换与矩阵“互化 ”的思想方法。

8)欧几里得空间

a.内积，欧氏空间 ，向量长度
、夹角、距离
，度量矩阵，标准正交基 、正交补 ，正交变换
，正交阵，对称变换 ，同构等概念 。

b.Schmidt正交化方法
，标准正交基的性质，正交变换的性质 ，正交阵的性质
，对称变换的性质及标准形
。

c.实对称阵的特征值
、特征向量的性质，用正交相似变换将实对称阵相似（合同）对角化。

d.向量到子空间的距离和最小二乘法 。

e.酉空间的概念和基本性质
。

三、考试时间：180分钟 ，满分：150分四 、参考书目

《高等代数》，北大数学系几何与代数教研室
，高等教育出版社，2013年 ，第四版。

附件：线性代数.pdf