2021考研大纲#2020年华北电力大学692数学分析考研究生初试大纲

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华北电力大学2020年硕士生入学考试初试科目考试大纲

科目代码：692

科目名称：数学分析

一、考试的总体要求

《数学分析》是一门重要的数学基础课程 ，由分析基础 、一元函数微分学和积分学
、级数、多元函数微分学和积分学等部分组成。要求考生系统地理解数学分析的基本概念和基本理论
，掌握数学分析的基本思想和方法，并具有抽象思维能力 、逻辑推理能力
、计算论证能力和综合运用所学的知识分析问题和解决问题的能力 。

二、考试的内容

1.分析基础

(1)实数理论

要求了解实数公理;理解上确界和下确界的意义;掌握绝对值不等式及平均值不等式;掌握函数的奇偶性 、单调性
、周期性、有界性等特殊性质
。

(2)数列极限

掌握数列极限与函数极限的概念(ε-N语言 、ε-δ语言的描述) ，理解无穷大(小)量的概念及基本性质;

掌握极限的性质(唯一性、有界性
、保号性)及四则运算性质、单调有界收敛定理 、Cauchy收敛准则
、迫敛性(两边夹、夹挤)原理 、两个重要极限;数列极限的概念与性质
，单调有界定理与柯西收敛原理

(3)函数极限

函数极限的概念与性质，柯西收敛原理 ，两个重要极限
，会应用两个重要极限求解相关问题。

(4)函数的连续性

连续的概念与性质，闭区间上连续函数的性质：有界性
、最值性、介值性(零点定理) 、一致连续性 。

(5)多元函数的极限与连续性

2.一元函数微分学

(1)导数和微分

理解可导与可微
、可导与连续的概念及其相互关系 ，理解导数的几何意义;理解函数极值点与极值、凸性 、拐点等概念;

掌握(高阶)导数
、微分的四则运算与复合函数求导运算法则;掌握左、右导数的概念以及分段函数求导方法
。

会用导数研究函数的单调性与极值性，会用二阶导数研究函数的凸性与拐点;熟练应用介值定理。

(2)微分中值定理

掌握微分中值定理及其在根的判定 、不等式、不定式极限(洛必达法则)等方面的应用;

掌握泰勒公式及其在极限
、极值点判定等方面的应用;

掌握极值与最值的求法、凸的等价定义 、以及凸性在不等式等方面的应用 。

3.实数的完备性

区间套
、聚点、开覆盖的概念
。

(1)理解聚点概念及其刻画
，理解区间套 、开覆盖等概念;

(2)理解关于实数完备性的六大基本定理及其证明思想;

(3)会用实数完备性定理证明闭区间上连续函数的有界性
、最值性、介值性(零点定理) 、一致连续性。

4.一元积分学

(1)不定积分

掌握原函数
、不定积分的概念及其基本性质;

熟记不定积分的基本公式，掌握换元积分法和分部积分法 ，会求初等函数、有理函数和三角有理函数的积分 。

(2)定积分

定积分的概念与性质
，可积条件，牛顿---莱布尼茨公式 ，换元法与分部积分法
，积分中值定理，微积分基本定理

掌握定积分的概念 、可积条件
、可积函数类;

掌握定积分的性质 ，熟练掌握微积分基本定理、定积分的换元积分法和分部积分法以及积分中值定理;掌握变上限积分的性质。

(3)定积分的应用

能用定积分计算平面图形的面积 、弧长、旋转体的体积与侧面积以及一些物理量的计算
。

(4)反常积分

反常积分的概念与性质
，收敛判别法。

理解反常积分收敛的概念
、Cauchy收敛准则;熟练掌握反常积分收敛性的比较判别法，狄利克雷判别法、阿贝尔判别法 。

5.级数

(1)数项级数

正项级数 ，交错级数
，一般项级数，要求熟练掌握级数收敛性的判别法

(2)函数项级数

要求会求收敛半径 ，收敛域，判断一致收敛性
，熟练掌握一致收敛的函数项级数的性质

(3)幂级数

要求掌握幂级数的概念与性质，会求函数的幂级数展开式

(4)傅立叶级数

掌握周期函数傅立叶级数的展开与收敛性的判别
。

6.多元微分学

(1)偏导数与全微分

可微性 ，偏导数
，高阶偏导数，链式法则 ，方向导数与梯度

(2)多元微分学的应用

中值定理
，泰勒公式，极值与条件极值 ，隐函数定理及应用

(3)含参变量的积分

7.多元积分学

(1)重积分

二重积分的定义
，计算与变量替换，三重积分的定义 ，计算与变量替换

(2)曲线积分

第一型曲线积分
，第二型曲线积分，格林公式

(3)曲面积分

曲面的面积 ，第一型曲面积分，第二型曲面积分
，高斯公式，斯托克斯公式

三 、考试的题型

判断题
、填空题、计算题 、证明题
、综合分析题等。