考研数学#2016考研究生数学#线性代数不得不知的<四大>考点

在考研数学考试中，线性代数占总分值的22% ，约34分
，以2个选择题 、1个填空题
、2个解答题的形式出现 。虽然线性代数的考点众多，但要把这5个题目的分值完全收入囊中 ，则需要进行重点题型重点突破
。其中，有关矩阵的秩、特征值与特征向量 、线性方程组求解和二次型标准化与正定判断这四大考点
，是考研数学中一定要复习好的内容。

矩阵的秩

矩阵是解决线性方程组的解的有力工具，矩阵也是化简二次型的方便工具 。矩阵理论是线性代数的重点内容 ，熟悉掌握了矩阵的相关性质与内容
，利用其来解决实际应用问题就变得简单易行。正因为矩阵理论在整个线性代数中的重要作用，使它变为考试考查的重点
。矩阵由那么多元素组成 ，每一个元素都在扮演不同的角色
，其中的核心或主角是它的秩!

通过几十年考研考试命题，命题老师对题目的形式在不断地完善 ，这也要求考生深入理解概念
，灵活处理理论之间的关系，能变通地解答题目。例如对矩阵秩的理解 ，对矩阵的秩与向量组的秩之间的关系的理解
，对矩阵等价与向量组等价之间区别的理解，对矩阵的秩与方程组的解之间关系的掌握 ，对含参数的矩阵的处理以及反问题的解决能力等，都需要在对概念理解的基础上
，联系地看问题，及时总结结论 。

矩阵的特征值与特征向量

矩阵的特征值与特征向量在将矩阵对角化过程中起着决定作用 ，也是将二次型标准化、规范化的便捷方式
，故特征值与特征向量也是考查重点
。对于特征值与特征向量，须理清其相互关系 ，也须能根据一些矩阵的特殊性求得其特征值与特征向量(例如根据矩阵各行元素之和为3能够判断3是其一个特征值
，元素均为1的列向量是其对应的特征向量)，会处理含参数的情况。

线性方程组求解

对线性方程组的求解总是通过矩阵来处理 ，含参数的方程组是考查的重点
，对方程组解的结构及有解的条件须熟悉 。例如2010年第20题(数学二为22题)，已经三元非齐次线性方程组存在2个不同的解 ，求其中的参数并求方程组的通解
。此题的关键是确定参数!而所有信息完全隐含在“AX=b存在2个不同的解”这句话中。由此可以得到齐次方程组有非0解
，系数矩阵降秩，行列式为0 ，可求得矩阵中的参数;非齐次方程组有解故系数矩阵与增广矩阵同秩可确定唯一参数及b中的参数 。至于确定参数后再求解非齐次方程组就变得非常简单了!

二次型标准化与正定判断

二次型的标准化与矩阵对角化紧密相连，即与矩阵的特征值与特征向量紧密联系
。这里需要掌握一些处理含参数矩阵的方法以便运算中节省时间!正定二次型有很优秀的性质
，但毕竟这是一类特殊矩阵，判断一个矩阵是否属于这个特殊类 ，可以使用正定矩阵的几个充要条件
，例如二次型矩阵的特征值是否全大于0，顺序主子式是否均大于0等 ，但前者更常用一些。

以上四个考点可以说是考试的重点考查对象
，考生可以根据自己的实际情况围绕重点题型针对复习 。只要攻克这些重难点，相信考研数学就会变得soeasy!