2011考研数一真题：那道“多元函数极值”大题，拉格朗日乘数法怎么设

回望2011年的考研数学一试卷,那道关于多元函数极值的题目至今仍被无数考生奉为经典
，它没有花哨的技巧，却精准地考察了考生对拉格朗日乘数法这一核心工具的掌握程度 ，这道题的设问看似简单——求函数在约束条件下的极值
，但其背后所隐含的数学逻辑与代数运算的严谨性，足以让许多初学者在考场上汗流浃背。

拉格朗日乘数法的精髓,在于如何巧妙地“设”出拉格朗日函数 ，对于本题
，目标函数 $z = xy + \frac{1}{x} + \frac{1}{y}$，约束条件是 $x + y = 1$ ，考生首先需要构建的拉格朗日函数 $L(x, y, \lambda)$
，本质上是在目标函数的基础上，叠加了一个关于约束条件的项 ，具体而言
，我们应当设 $L(x, y, \lambda) = xy + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \lambda(x + y - 1)$，这里的关键在于 $\lambda$ 的引入 ，它起到了“桥梁 ”的作用，将原本不相干的两个方程（目标函数的梯度与约束条件的梯度）通过数学语言强行连接起来 。

紧接着,便是“怎么写
”的问题
，求极值意味着对 $x, y, \lambda$ 分别求偏导，并令其为零 ，这一步虽然标准
，但往往容易出错，考生需要熟练掌握偏导数的运算规则 ，特别是对 $\frac{1}{x}$ 和 $\frac{1}{y}$ 的处理
，通过对 $L$ $x$ 和 $y$ 求偏导，我们会得到两个关于 $x, y$ 的方程；通过 $x + y = 1$ ，我们实际上得到了三个方程组成的方程组
，解这个方程组，是整道题的“咽喉”所在
。

很多考生在这一步会感到棘手,因为方程组中包含了分式 ，如何消元？通常的策略是利用对称性
，由于原函数和约束条件在 $x$ 和 $y$ 上是对称的，我们很容易猜测 $x = y$ ，代入后迅速求得 $x = y = \frac{1}{2}$，进而求出 $\lambda$
，这一过程不仅考察了计算能力，更考察了考生的观察力与逻辑推断能力 ，如果考生不敢利用对称性
，强行进行通分消元，不仅计算量大 ，而且极易在繁琐的代数运算中因为一个符号的错误而导致满盘皆输。

求出驻点后,必须验证这是极大值还是极小值
，对于拉格朗日乘数法，通常需要利用二阶偏导数判别法或结合实际问题进行判断 ，这道题的极值点 $x=y=1/2$ 处
，经过计算确认是极小值点，整道题从“怎么设 ”到“怎么解
” ，再到“怎么验”
，环环相扣，缺一不可 ，它告诉我们，考研数学不仅仅是考你会不会算
，更是考你思维的严密性与对基础知识的融会贯通，掌握拉格朗日乘数法的正确设写与求解逻辑 ，是通往高分的关键一步 。