2011考研数一真题：那道“多元函数极值”大题，拉格朗日乘数法怎么设

回望2011年的考研数学一试卷,那道关于多元函数极值的题目至今仍被无数考生奉为经典 ，它没有花哨的技巧，却精准地考察了考生对拉格朗日乘数法这一核心工具的掌握程度
，这道题的设问看似简单——求函数在约束条件下的极值，但其背后所隐含的数学逻辑与代数运算的严谨性 ，足以让许多初学者在考场上汗流浃背。

拉格朗日乘数法的精髓,在于如何巧妙地“设”出拉格朗日函数
，对于本题，目标函数 $z = xy + \frac{1}{x} + \frac{1}{y}$ ，约束条件是 $x + y = 1$
，考生首先需要构建的拉格朗日函数 $L(x, y, \lambda)$，本质上是在目标函数的基础上 ，叠加了一个关于约束条件的项
，具体而言，我们应当设 $L(x, y, \lambda) = xy + \frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \lambda(x + y - 1)$ ，这里的关键在于 $\lambda$ 的引入
，它起到了“桥梁 ”的作用，将原本不相干的两个方程（目标函数的梯度与约束条件的梯度）通过数学语言强行连接起来 。

紧接着,便是“怎么写”的问题 ，求极值意味着对 $x, y, \lambda$ 分别求偏导，并令其为零
，这一步虽然标准，但往往容易出错 ，考生需要熟练掌握偏导数的运算规则
，特别是对 $\frac{1}{x}$ 和 $\frac{1}{y}$ 的处理，通过对 $L$ $x$ 和 $y$ 求偏导 ，我们会得到两个关于 $x, y$ 的方程；通过 $x + y = 1$
，我们实际上得到了三个方程组成的方程组，解这个方程组 ，是整道题的“咽喉
”所在。

很多考生在这一步会感到棘手,因为方程组中包含了分式
，如何消元？通常的策略是利用对称性，由于原函数和约束条件在 $x$ 和 $y$ 上是对称的 ，我们很容易猜测 $x = y$
，代入后迅速求得 $x = y = \frac{1}{2}$，进而求出 $\lambda$ ，这一过程不仅考察了计算能力，更考察了考生的观察力与逻辑推断能力
，如果考生不敢利用对称性，强行进行通分消元 ，不仅计算量大
，而且极易在繁琐的代数运算中因为一个符号的错误而导致满盘皆输
。

求出驻点后,必须验证这是极大值还是极小值，对于拉格朗日乘数法 ，通常需要利用二阶偏导数判别法或结合实际问题进行判断
，这道题的极值点 $x=y=1/2$ 处，经过计算确认是极小值点 ，整道题从“怎么设”到“怎么解 ”
，再到“怎么验
”，环环相扣 ，缺一不可
，它告诉我们，考研数学不仅仅是考你会不会算 ，更是考你思维的严密性与对基础知识的融会贯通，掌握拉格朗日乘数法的正确设写与求解逻辑
，是通往高分的关键一步。