考研数学>复习指导#破解考研究生数学证明题三大思路

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时间：2016-06-1611:17:15

第一步：首先要记住零点存在定理 ，介值定理
，中值定理、极限存在的两个准则等基本原理，包括条件及结论 ，中值定理最好能记住他们的推到过程
，有时可以借助几何意义去记忆 。

因为知道基本原理是证明的基础，知道的程度(即就是对定理理解的深入程度)不同会导致不同的推理能力
。如2006年数学一第16题(1)是证明极限的存在性并求极限。只要证明了极限存在 ，求值是很容易的
，但是如果没有证明第一步，即使求出了极限值也是不能得分的 。因为数学推理是环环相扣的 ，如果第一步未得到结论，那么第二步就是空中楼阁
。这个题目非常简单
，只用了极限存在的两个准则之一：单调有界数列必有极限。只要知道这个准则，该问题就能轻松解决 ，因为对于该题中的数列来说
，“单调性 ”与“有界性
”都是很好验证的 。再比如2009年直接让考生证明拉格朗日中值定理;但是像这样直接可以利用基本原理的证明题在考研中并不是很多见，更多的是要用到第二步
。

第二步：可以试着借助几何意义寻求证明思路 ，以构造出所需要的辅助函数。

一个证明题
，大多时候是能用其几何意义来正确解释的，当然最为基础的是要正确理解题目文字的含义 。如2007年数学一第19题是一个关于中值定理的证明题 ，可以在直角坐标系中画出满足题设条件的函数草图
，再联系结论能够发现：两个函数除两个端点外还有一个函数值相等的点，那就是两个函数分别取最大值的点(正确审题：两个函数取得最大值的点不一定是同一个点)之间的一个点。这样很容易想到辅助函数F(x)=f(x)-g(x)有三个零点 ，两次应用罗尔中值定理就能得到所证结论
。再如2005年数学一第18题(1)是关于零点存在定理的证明题
，只要在直角坐标系中结合所给条件作出函数y=f(x)及y=1-x在[0，1]上的图形就立刻能看到两个函数图形有交点 ，这就是所证结论，重要的是写出推理过程。从图形也应该看到两函数在两个端点处大小关系恰好相反
，也就是差函数在两个端点的值是异号的，零点存在定理保证了区间内有零点 ，这就证得所需结果 。如果第二步实在无法完满解决问题的话
，转第三步
。

第三步：从要证的结论出发，去寻求我们所需要的构造辅助函数 ，我们称之为“逆推”。

如2004年第15题是不等式证明题
，该题只要应用不等式证明的一般步骤就能解决问题：即从结论出发构造函数，利用函数的单调性推出结论 。在判定函数的单调性时需借助导数符号与单调性之间的关系 ，正常情况只需一阶导的符号就可判断函数的单调性
，非正常情况却出现的更多(这里所举出的例子就属非正常情况)，这时需先用二阶导数的符号判定一阶导数的单调性 ，再用一阶导的符号判定原来函数的单调性
，从而得所要证的结果
。

以后同学们在做证明题时不妨试一试以上三种方法，慢慢建立自信心 ，以阻止考试分数的白白流失。最后祝各位考生如愿以偿 。