考研数学>概率论与数理统计#考研究生数学#寻根究底之随机变量篇[一]

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时间：2016-06-1716:02:00

普研数学中概率共五题
。如果有时间，看看 ，会发现题目是这么表述的：“设随机变量X…
”
，“设总体X…”，“设样本X1 ，X2
，…，Xn为来自总体X的简单随机样本… ”。可见考研数学概率部分是以随机变量为载体出题的另外 ，随机变量之于概率正如矩阵之于线代：矩阵是线性代数的活动基地
，线代的核心概念基本上都是用矩阵定义的而随机变量则是概率统计的活动基地，概率统计的重要概念均以随机变量为载体展开 。

随机变量 ，顾名思义
，就是具有随机性的变量
。什么叫有随机性?三人行考研网辅导老师将带领大家从随机试验开始看起。

所谓随机试验，就是具有如下特征的试验：“可重复
” ，“结果不唯一”，“无法预知 ”(试验前无法预知哪种结果出现) 。如掷硬币
，掷骰子
。对于某个随机试验，我们把其结果收集起来构成一个集合 ，这就构成了该试验的样本空间。而样本空间的子集就是随机事件 。所以随机事件即某些试验结果构成的集合
。概率第一章的基本概念：样本空间
、随机事件、必然事件 、不可能事件
、基本事件
，均可以理解成特殊的集合(由随机试验的结果构成的集合)：全集、子集 、全集
、空集、单点集。

随机变量是定义在样本空间上的单值函数 。例如对于掷硬币这个随机试验，其样本空间为正 ，反
，我们可以在这个样本空间上定义一个随机变量：X(正)=1，X(反)=0
。

关于随机变量的概念 ，我们不妨多思考一下
，以增进和它的关系。套用一句广告词：你怎么对待随机变量，随机变量就怎么对待你 。请思考如下几个问题：

1.随机变量是个函数 ，这个函数是不是高数中的函数?

不少同学没有思考过这个问题
，那就错过了深入理解随机变量的机会。高数中的函数是什么样子的?起码定义域是实数集或实数集的子集
。而随机变量的定义域是样本空间。这说明二者是不同类型的函数 。什么?函数还有不同类型?有这种疑惑的同学很可能没有好好看教材，在同济六版高数教材第6页 ，有一小段话，较为透彻地解答了该问题
。大家可以经过翻书或听我唠叨几句这两种方式解决这个问题。ready?go!映射是两个集合A
，B之间的对应关系，考虑非空集合A 、B ，对于集合A中的任一元素
，若集合B中有唯一确定的元素与之对应，我们就把这种对应关系称为从A到B的映射 。如果集合A
、B均为实数集或其子集 ，我们把这个映射称为函数
。如果定义域为一个一般的集合(非实数集或其子集)
，那么我们把这种映射称为泛函(泛函字面意思为广义的函数)。理解了这些概念后，我们再来看随机变量 ，不难发现它原来是个泛函(怪不得不好理解呢) 。泛函的知识考研不要求
，不必深究
。

2.随机变量能否表示随机事件?

这个问题也有不少同学感到困惑。我们以上面定义的这个随机变量为例，X=1是个随机事件吗?是 。可以有两个理解角度：其一 ，它可以写成X=1=e|X(e)=1=正
，这是一种反对应：由函数因变量的取值反对应自变量的取值
。大家可以体会一下如何用随机变量表示随机事件其二，X有两种可能的取值0 ，1，并且以一定的概率取每个值
，而可以考虑概率的事件自然是随机事件了。所以以后见到一个随机变量，我们不一定要弄清它是如何定义的(有时这是困难的) ，只要我们能分析出这个变量有若干种可能的取值
，取每个值有相应的概率即可认可其为随机变量，进行下一步分析即可 。

类似地 ，X