考研数学>高等数学#2022考研究生高数章节知识点梳理[第3章]

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时间：2021-01-0916:31:31

2022考研的考生现在已经进入基础备考阶段啦！一个良好的起跑点对于后期的复习备考至关重要 ，考研数学栏目为各位考生提供相关考研备战常识与资料
，希望能对各位2022考研的考生有所帮助，一起来看哦。

中值定理与导数的应用

1 、定理(罗尔定理)如果函数f(x)在闭区间[a ，b]上连续
，在开区间(a，b)内可导 ，且在区间端点的函数值相等，即f(a)=f(b)
，那么在开区间(a，b)内至少有一点ξ(a

2
、定理(拉格朗日中值定理)如果函数f(x)在闭区间[a ，b]上连续
，在开区间(a，b)内可导 ，那么在开区间(a
，b)内至少有一点ξ(a

3、定理(柯西中值定理)如果函数f(x)及F(x)在闭区间[a，b]上连续 ，在开区间(a
，b)内可导，且F’(x)在(a ，b)内的每一点处均不为零
，那么在开区间(a，b)内至少有一点ξ ，使的等式[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f’(ξ)/F’(ξ)成立 。

4 、洛必达法则应用条件只能用与未定型诸如0/0
、∞/∞、0×∞ 、∞-∞、00
、1∞、∞0等形式
。

5 、函数单调性的判定法设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续
，在开区间(a，b)内可导 ，那么：(1)如果在(a
，b)内f’(x)>0，那么函数f(x)在[a ，b]上单调增加;(2)如果在(a
，b)内f’(x)

如果函数在定义区间上连续，除去有限个导数不存在的点外导数存在且连续 ，那么只要用方程f’(x)=0的根及f’(x)不存在的点来划分函数f(x)的定义区间
，就能保证f’(x)在各个部分区间内保持固定符号，因而函数f(x)在每个部分区间上单调。

6
、函数的极值如果函数f(x)在区间(a ，b)内有定义
，x0是(a，b)内的一个点 ，如果存在着点x0的一个去心邻域，对于这去心邻域内的任何点x
，f(x)f(x0)均成立，就称f(x0)是函数f(x)的一个极小值 。

在函数取得极值处 ，曲线上的切线是水平的
，但曲线上有水平曲线的地方，函数不一定取得极值 ，即可导函数的极值点必定是它的驻点(导数为0的点)
，但函数的驻点却不一定是极值点
。

定理(函数取得极值的必要条件)设函数f(x)在x0处可导，且在x0处取得极值 ，那么函数在x0的导数为零
，即f’(x0)=0.定理(函数取得极值的第一种充分条件)设函数f(x)在x0一个邻域内可导，且f’(x0)=0 ，那么：(1)如果当x取x0左侧临近的值时
，f’(x)恒为正;当x去x0右侧临近的值时，f’(x)恒为负 ，那么函数f(x)在x0处取得极大值;(2)如果当x取x0左侧临近的值时，f’(x)恒为负;当x去x0右侧临近的值时
，f’(x)恒为正，那么函数f(x)在x0处取得极小值;(3)如果当x取x0左右两侧临近的值时 ，f’(x)恒为正或恒为负
，那么函数f(x)在x0处没有极值。

定理(函数取得极值的第二种充分条件)设函数f(x)在x0处具有二阶导数且f’(x0)=0，f’’(x0)≠0那么：(1)当f’’(x0)0时 ，函数f(x)在x0处取得极小值;驻点有可能是极值点
，不是驻点也有可能是极值点 。

7、函数的凹凸性及其判定设f(x)在区间Ix上连续，如果对任意两点x1 ，x2恒有f[(x1+x2)/2][f(x1)+f(x1)]/2
，那么称f(x)在区间Ix上图形是凸的。

定理设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续 ，在开区间(a
，b)内具有一阶和二阶导数，那么(1)若在(a ，b)内f’’(x)>0，则f(x)在闭区间[a
，b]上的图形是凹的;(2)若在(a，b)内f’’(x)

判断曲线拐点(凹凸分界点)的步骤(1)求出f’’(x);(2)令f’’(x)=0 ，解出这方程在区间(a
，b)内的实根;(3)对于(2)中解出的每一个实根x0，检查f’’(x)在x0左右两侧邻近的符号 ，如果f’’(x)在x0左右两侧邻近分别保持一定的符号
，那么当两侧的符号相反时，点(x0 ，f(x0))是拐点
，当两侧的符号相同时，点(x0 ，f(x0))不是拐点
。

在做函数图形的时候
，如果函数有间断点或导数不存在的点，这些点也要作为分点。