考研数学>线性代数#2016考研究生数学#矩阵的相似对角化

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时间：2016-06-1814:09:07

定义1：设A和B为两个n阶方阵 ，如果存在一个n阶可逆矩阵P使得,则称矩阵A和B相似，记作。

由相似的定义我们可以得到以下结论：

1：A与A相似

2：由A与B相似
，可以得到B与A相似 。

3：由A与B相似，B与C相似 ，可以得到A与C相似。

相似矩阵有这么多的共同性质
，我们就希望过相似把原本复杂的矩阵简单化，所以就有了矩阵相似对角化
。

定义：对n阶方阵A ，如果存在一个n阶对角矩阵使得A与相似
，则称矩阵A可以相似对角化，并把称为矩阵A的相似标准型。

我们得到矩阵可相似对角化的充要条件：

定理：n阶矩阵A可相似对角化的充要条件是矩阵A存在n个线性无关的特征向量 。

推论：矩阵A有n个互不相同的特征值 ，则矩阵A可相似对角化
。

定理：n阶矩阵A的特征值可相似对角化的充要条件是对任意特征值
，线性无关的特征向量个数都等于的重数。

推论：n阶矩阵A的特征值可相似对角化的充要条件是对任意特征值的重数 。

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