考研数学>线性代数#2016考研究生数学#线性代数之向量组的秩

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时间：2016-06-1814:08:51

在线性代数这一学科中，“秩 ”几乎算是一个最难的概念了 ，它的难点在于“秩
”有两个定义
，一个是矩阵的秩，一个是向量组的秩。所谓矩阵的秩 ，指的是矩阵最高阶非零子式的阶数
，而向量组的秩指的是向量组的极大线性无关组中向量的个数 。

那这两个秩之间有什么联系呢?其实，要回答这个问题 ，我们可以从矩阵与向量之间的联系入手
。在学习向量的概念时
，我们已经提及过，向量其实就是一个特殊的矩阵––维行向量是一个n行1列的矩阵 ，而维列向量是一个n行1列的矩阵。另一方面，矩阵也可以写成向量的形式
，若将一个矩阵按行分块，可以将其写成一个列向量的形式：

所以 ，对于一个矩阵
，我们可以从三个角度去分析它的秩 。第一，就是矩阵的秩 ，它表示的是矩阵非零子式的最高阶数第二
，是矩阵的行秩，指的是矩阵的行向量组的极大线性无关组中向量的个数第三 ，矩阵的列秩
，指的是矩阵的列向量组的极大线性无关组中向量的个数
。

关于这三个秩的关系，我们有一个定理：矩阵的行秩等于列秩且等于矩阵的秩。

从这个定理可知 ，矩阵的这三个秩是相同的
，明确这一点，对我们以后的学习有两个方面的意义 。第一 ，既然这三个秩相同，那我们以后就可以对它们三个不加区分
，因为，它们都表示矩阵的秩
。第二 ，这个定理为我们解决与秩相关的问题打开了一个新的思路。以后
，在求向量组的秩时，我们可以将其转化成求矩阵的秩 ，相应的
，求矩阵的秩时，可以转化成求向量组的秩 。比如 ，我们在实际计算矩阵的秩时
，可以先将其过初等行变换，化成阶梯型矩阵 ，然后看非零行
，非零行的个数就等于矩阵的秩。之所以可以这样做，是因为 ，在阶梯型矩阵中，一个非零行对应着一个主元
，而一个主元就对应着极大线性无关组中的一个向量，所以非零行的个数就等于极大线性无关组中向量的个数 ，而极大线性无关组中向量的个数就是矩阵的秩
。所以
，非零行的个数就等于矩阵的秩。

所以，学到这儿 ，我们会发现
，矩阵的秩与向量组的秩其实就是同一个概念的两种不同表达形式，以后 ，在求矩阵的秩时
，我们只需求矩阵的秩 、行秩
、列秩三个当中的任何一个就可以了 。

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曹严梅