考研数学>线性代数#考研究生数学#线性代数知识框架构建之四

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时间：2016-06-1815:10:53

矩阵的加法和数乘
，与向量的运算类同。

矩阵的另外一个重要应用：线性变换(最典型例子是旋转变换)
。即可以把一个矩阵看作是一种线性变换在数学上的表述。

矩阵的乘法，反映的是线性变换的叠加 。如矩阵A对应的是旋转一个角度a ，矩阵B对应的是旋转一个角度b
，则矩阵AB对应的是旋转一个角度a+b
。

矩阵乘法的特点：若C=AB，则C的第i行、第j列的元素是A的第i行与B的第j列的元素对应乘积之和;A的列数要和B的行数相同;C的行数是A的行数 ，列数是B的列数。需要主义的是矩阵乘法不满足交换律
，满足结合律 。

利用矩阵乘积的写法，线性方程组可更简单的表示为：Ax=b
。

对于C=AB ，还可作如下分析：将左边的矩阵A写成列向量组的形式
，即意味着C的列向量组能由A的列向量组表示，从而推知C的列秩小于等于A的列秩;将右边的矩阵B写成行向量组的形式 ，即意味着C的行向量组能由B的行向量组表示
，从而推知C的行秩小于等于B的行秩，再考虑到矩阵的行秩等于列秩等于矩阵的秩 ，最终可得到结论，C的秩小于等于A的秩
，也小于等于B的秩，即矩阵乘积的秩总不超过任一个因子的秩。

关于矩阵乘积的另外一个重要结论：矩阵乘积的行列式等于各因子的行列式的乘积 。

一些特殊的矩阵：单位阵 、对角阵、初等矩阵
。尤其要注意 ，初等矩阵是单位阵经过一次初等变换得到的矩阵。

每一个初等矩阵对应一个初等变换
，因为左乘的形式为PA(P为初等矩阵)，将A写成行向量组的形式 ，PA意味着对A做了一次初等行变换;同理
，AP意味着对A做了一次初等列变换，故左乘对应行变换 ，右乘对应列变换 。