考研数学>线性代数#考研究生数学#线性代数知识框架构建之三

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时间：2016-06-1815:10:44

对阶梯形矩阵进行考察
，发现阶梯形矩阵的行秩等于列秩，并且都等于阶梯形的非零行的数目 ，并且主元所在的列构成列向量组的一个极大线性无关组。

矩阵的初等行变换不会改变矩阵的行秩
，也不会改变矩阵的列秩 。

任取一个矩阵A，过初等行变换将其化成阶梯形J ，则有：A的行秩=J的行秩=J的列秩=A的列秩
，即对任意一个矩阵来说，其行秩和列秩相等 ，我们统称为矩阵的秩
。

过初等行变换化矩阵为阶梯形，即是一种求矩阵列向量组的极大线性无关组的方法。

考虑到A的行秩和A的转置的列秩的等同性
，则初等列变换也不会改变矩阵的秩 。总而言之，初等变换不会改变矩阵的秩
。因此如果只需要求矩阵A的秩 ，而不需要求A的列向量组的极大无关组时
，可以对A既作初等行变换，又作初等列变换 ，这会给计算带来方便。

矩阵的秩
，同时又可定义为不为零的子式的最高阶数 。

满秩矩阵的行列式不等于零。非满秩矩阵的行列式必为零
。

既然矩阵的秩和矩阵的列秩相同，则可以把线性方程组有解的充分必要条件更加简单的表达如下：系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩。另外 ，有唯一解和有无穷多解的条件也可从秩的角度给出回答：系数矩阵的秩r等于未知量数目n
，有唯一解，r

齐次线性方程组的解的结构问题 ，可以用基础解系来表示 。当齐次线性方程组有非零解时
，基础解系所含向量个数等于n-r，用基础解系表示的方程组的解的集合称为通解
。

过对具体实例进行分析 ，可以看到求基础解系的方法还是在于用初等行变换化阶梯形。

非齐次线性方程组的解的结构，是由对应的齐次通解加上一个特解 。