考研数学>线性代数#2015考研究生数学线性代数重要运算方法

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时间：2016-06-1815:29:55

代数余子式，伴随矩阵
，逆矩阵，初等变换与初等矩阵 ，正交变换与正交矩阵
，秩(矩阵 、向量组、二次型)，等价(矩阵
、向量组) ，线性组合与线性表出
，线性相关与线性无关，极大线性无关组 ，基础解系与通解
，解的结构与解空间，特征值与特征向量 ，相似与相似对角化
，二次型的标准形与规范形，正定 ，合同变换与合同矩阵。

往年常有考生没有准确把握住概念的内涵，也没有注意相关概念之间的区别与联系
，导致做题时出现错误 。例如，矩阵A=(α1 ，α2
，……，αm)与B=(β1 ，β2……
，βm)等价，意味着经过初等变换可由A得到B ，要做到这一点
，关键是看秩r(A)与r(B)是否相等，而向量组α1 ，α2
，……αm与β1，β2 ，……βm等价，说明这两个向量组可以互相线性表出
，因而它们有相同的秩，但是向量组有相同的秩时 ，并不能保证它们必能互相线性表现
，也就得不出向量组等价的信息，因此 ，由向量组α1
，α2，……αm与β1 ，β2
，……βm等价，可知矩阵A=(α1 ，α2
，……αm)与B=(β1，β2 ，……βm)等价，但矩阵A与B等价并不能保证这两个向量组等价。

又如
，实对称矩阵A与B合同，即存在可逆矩阵C使CTAC=B ，要实现这一点
，关键是二次型xTAx与xTBx的正、负惯性指数是否相同，而A与B相似是指有可逆矩阵P使P-1AP=B成立 ，进而知A与B有相同的特征值
，如果特征值相同可知正 、负惯性指数相同，但正负惯性指数相同时 ，并不能保证特征值相同
，因此，实对称矩阵A～B?A?B ，即相似是合同的充分条件
。

线性代数中运算法则多
，应整理清楚不要混淆，基本运算与基本方法要过关 ，重要的有：

行列式(数字型
、字母型)的计算，求逆矩阵
，求矩阵的秩，求方阵的幂 ，求向量组的秩与极大线性无关组
，线性相关的判定或求参数，求基础解系 ，求非齐次线性方程组的通解
，求特征值与特征向量(定义法，特征多项式基础解系法) ，判断与求相似对角矩阵
，用正交变换化实对称矩阵为对角矩阵(亦即用正交变换化二次型为标准形)。