考研数学>高等数学#2016考研究生常见数学小问题集锦[1]

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时间：2016-06-2013:53:41

在数学备考的过程中
，我们大都会把自己沉浸习题的海洋里，做题 ，查答案
，做题，查答案 ，如此反复
，不免枯燥。于是，三人行考研网小编找来一些有趣的数学小题目 ，快利用你的碎片时间来挑战一下吧 。

1、设函数f(x)在(-∞
，+∞)内单调有界，{xn}为一数列
。下面命题正确的是()

A 、若{xn}收敛 ，则{f(xn}收敛。

B
、若{xn}单调
，则{f(xn)}收敛 。

C、若{f(xn)收敛，则{xn}收敛
。

D 、若{f(xn)}单调 ，则{xn}收敛。

解题思路

(1)——(C)(D)都不对的关键在于：在本题条件下，就算相应的函数值列收敛或单调
，自变量列xn可以是趋向正无穷的，没有极限 。

(2)——(A)情形只知道自变量列xn收敛 ，它可能不是单调的
。

单调的函数不一定连续。且
，“如果单调函数在单调区间内一点x0间断，则只能是跳跃间断 。
”(实际上 ，如果函数在x0的左右极限相等
，则f(x0)只能等于极限值，否则就破坏了单调性
。)

设想xn既有子列从左边 ，又有子列从右边趋向点x0
，则自变量列收敛于点x0而相应的函数值列却不收敛。故(A)错 。

反例：x小于0时f=x，f(0)=1 ，x大于0时f=2+x

(3)——(B)对。在本题条件下
，若自变量列单调，相应的函数值列必定也单调
。且是有界的。

2
、f(x)在[a ，b]上可微，且f‘(x)在(a
，b)内单调增加，又f(a)=f(b)=A(常数) ，证明
，在(a，b)内 ，恒有f(x)