考研数学>高等数学#2016考研究生常见数学小问题集锦[2]

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时间：2016-06-2013:54:05

微积分如果用心去学你会发现很多乐趣 ，然后在解题的过程享受这些小小的成就感
，何乐而不为呢 。快来看看这位朋友分享的一些小乐趣吧
。

▶被积函数是连续函数f(x)的积分上限函数F(x)可导，且导数就是f(x)。

逆向思维 ，这就用“构造法 ”证明了：连续函数一定有原函数 。

把“作上限函数
”视为一种变换方式
，从条件角度看，相当于经过变换将连续函数提升为可导函数
。《广义函数》理论中 ，在不光滑点(连续不可导点)微局部地实施这样的变换
，就好象是用“沙轮”把曲线“尖点 ”给磨光了。故称之为“磨光变换
” 。

当年武汉X中有个学生入选中国中学生奥数代表队
。在清华北大的集训中，他将这套技术学得很精。正式参加世界大赛时 ，决赛卷上最后的坡度题恰好用“磨光变换”最简单 。这个小子设计了“磨光变换 ”逼近列，很快地完成了解答。自信无误之际
，竟在草稿上画卜克游戏玩
。新华社电讯稿报道中学生奥数代表队夺金时，记者把“磨光变换
”写成了“魔光变换” ，好不吓人哦。

这里有一个有趣的联想 。如果f(x)仅有第一类间断
，那么相应的上限函数是否一定连续呢?

结论是，“相应的上限函数一定连续
。 ”

(画外音：考研题中出现过一次。)

在《概率统计》中 ，连续型随机变量X的分布函数就是密度函数的上限函数 。它一定连续
。由于密度函数非负
，证明这个结论，用连续的增量定义最简明。

要注意的是 ，设f(x)有跳跃间断点a
，相应的上限函数在点a虽然连续，却一定不可导 。即改善是有一定限度的
。

要证明这个结论正好用上我的“有意思(4)右导数与导函数的右极限”。

实际上 ，设点a左側
，f(x)=初等函数&phi(x)，右侧f(x)=&psi(x) ，&phi(x-0)&ne&psi(x+0)形成跳跃间断 。记f(x)相应的上限函数为F(x)，则F(x)在点a连续
，但是

左側求导F&prime(x)=&phi(x)，右側求导F&prime(x)=&psi(x) ，&phi(x-0)&ne&psi(x+0)

F(x)在点a不可导
。

在点a的邻域内
，F(x)不是f(x)的原函数。

相当一些“模拟卷
”上有这样的题目 。可以算是“擦边球”。

▶《概率统计》不是第一层次基础课程
。学习《概率》需要你有较好的《高等数学》基础。

比如，计算D(卡方(1))就是个大综合练习 。

(潜台词：D(卡方(n))=2n)

预备1––我们知道 ，exp(x2)是四个“典型不可积 ”中最为露脸的一个
。正态分布的密度函数与它同为一家
，但是密度函数在全直线积分为1。在历史上，人们曾利用这个特点及定积分技巧来计算一些无穷积分 。

计算D(卡方(1)) ，最尾端就要用到它
。

预备2––我在“讲座
”中逐讲给大家建立一个“材料库”。最早在(5)中有一条

“x趋于+&infin时
，指数函数exp(x)是比任意高次方的幂函数都还要高阶的无穷大 。 ”

或者说，“x趋于+&infin时 ，函数exp(-x)是任意高阶的无穷小
。
”

预备3––分部积分的要点是“变化”

&int甲·乙dx=(甲的一个原函数)·(乙)-&int(甲的这个原函数)·(乙的导数)dx

设X服从标准正态分布
，我们计算D(X2)，即证明D(卡方(1))=2

鉴于输入问题 ，我写出步骤，大家在纸上划一下

(1)用平方关系来算D(X2)
，得先算均值E(X四次方)

设f(x)是N(0,1)的密度函数，求E(X四次方) ，被积函数x四次方f(x)在全直线积分

分x四次方f(x)=x3·xf(x)
，注意xf(x)的原函数恰是-f(x)

分部积分一次，求极限知第一部分答案为0 ，(运用预备2)

第二部分是3x2f(x)在全直线积分

再分x2f(x)=x·xf(x),又分部积分
，同样求极限知第一部分答案为0，

第二部分已是3倍密度函数f(x)在全直线积分 ，当然为3

(2)用平方关系来算

我常常开玩笑把平方关系E(X2)=&mu2+&sigma2称为“概率勾股定理 ”。

D(X2)=E(X四次方)-(E(X2))2=3-1=2

怎么样
，有点意思吧 。

▶如果你作了一个假设，你就建立了逻辑推理的一个基本点
。如果你还要作第二个假设 ，那得小心思考
，新的假设是否与第一个假设独立。

一个同学在网上发贴，先设“对任意x ，总有f(x)>x
”，推出“f(f(x))>f(x)”
，突然又假设“f(x)单减 ”，然后就不明白 ，“为什么会矛盾
” 。这就是没考虑逻辑
，随意作第二个假设造成的。

数学历史上，正当人们陶醉于“集合理论”与“勒贝格积分 ”等成果的完美之际 ，“悖论”的出现给大家当头一棒
，砸得人晕头转向
。仿佛有世界末日来临的感觉。以至于对很多成功的“公理化假设
”也提出怀疑：“是否在筑好篱笆之时，已经圈进了狼?”

思考“第二假设是否与第一个假设独立 ” ，有时的确较为困难 。

看一个线性代数问题
。

(讲座(40))例15设n维行向量组a1
，a2，--- ，ak线性无关
，k

向量组a1，a2 ，---，ak
，&beta线性无关。

例15是原数学四的考题 。它可以深化为，

例“设向量组&beta1 ，&beta2
，---，&betar线性无关 ，向量组&xi1
，&xi2，--- ，&xik线性无关
。若前一向量组的每一个向量都与后一向量组的各向量正交。则两向量组的合并组线性无关 。(暂时不写一个条件)

证明设有一组数C1
，……，Cr ，Cr+1
，……，Cr+k ，使得

C1&beta1+……+Cr&betar+Cr+1&xi1+……+C(r+k)&xik=0

用&beta1对等式两边作内积，得&beta1ˊ&beta1C1+……+&beta1ˊ&betarCr=0

用&beta2对等式两边作内积
，得&beta2ˊ&beta1C1+……+&beta2ˊ&betarCr=0

…………

用&betar对等式两边作内积，得&betarˊ&beta1C1+……+&betarˊ&betarCr=0

现在 ，问题归结为
，证明这个齐次方程组仅有零解
。

问题延伸1，若记A=(&beta1 ，&beta2
，---，&betar) ，则系数矩阵恰为AˊA

(潜台词：矩阵乘法
，“左行右列作内积
”)

问题延伸2，秩R(A)=秩R(A&primeA)

证明作齐次线性方程组AX=0和A&primeAX=0 ，AX=0的解显然都是A&primeAX=0的解。

如果列向量&beta是A&primeAX=0的解
，则

内积(A&beta)&prime(A&beta)=&beta&primeA&primeA&beta=&beta&prime(A&primeA&beta)=0

这说明A&beta=0(向量),即A&primeAX=0的解也都是AX=0的解 。两方程组同解
。

解集秩n-R(A)=n-R(A&primeA)故秩R(A)=秩R(A&primeA)

前述关于C1，…… ，Cr的齐次方程组仅有零解。带回假设式，由后一向量组的线性无关性知,其余系数也全为零 。故两向量组的合并组线性无关。

(画外音：这是一个可以记住的结论
。请体会证明的特色。)

好象什么问题都没有?!?!?!联想“n+1个n维向量线性相关”,这里还有向量个数问题 。在没有限定向量个数时
，第二个假设，“前一向量组的每一个向量都与后一向量组的各向量正交 ” ，不一定成立
。必须先说“k+r&len
”这个条件不影响证明。