考研数学>高等数学#2015考研究生高等数学之定积分的应用

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时间：2014-09-2510:00:56

定积分的应用这部分知识可以说是高等数学对于数一 、数二和数三考生的一个分水岭，从这部分内容开始数一
、数二和数三在考点范围的区别开始显现 。虽然前几章内容中数一、二 、三的考点也有不同的地方 ，但是差别很小
，从本章开始它们的差别会越来越大
。这里我们不是要去强调它们的区别，而是想告诉大家本章中数一
、二、三在考点要求上的不同 ，让大家对于本章的学习有一个更明确的目标和方向。

首先我们说一下考试对于定积分应用这章的要求
，要求主要有两个：1 、对于计算公式的记忆 。大家过复习也应该发现了，这章需要大家记忆的公式是最多的 ，这里要告诉大家的是我们记公式的时候不能死记硬背各个公式，而是需要抓住各个公式的本质2、对微元法的掌握
。微元法是本章我们使用的最多的方法
，也是大家必须掌握的方法，大家一定要掌握微元法的思想：分割
、近似、求和 、取极限。

定积分的应用与导数的应用相比 ，综合性更强
，题型也更多变，下面我们就来讨论定积分的具体应用 。定积分主要有两方面的应用：在几何上的应用和在物理上的应用。物理上的应用包括求功
、压力、质心 、形心
、引力、转动惯量等 ，这部分内容只有数一和数二的考生需要复习
，其中复习的时候也只需要复习功 、压力
、质心、形心就可以了，因为后面的引力和转动惯量基本没在数学中考过
。几何上的应用包括求平面图形的面积 、旋转体的体积
、平行截面面积为已知的立体体积、平面曲线的弧长以及旋转体的侧面积 ，其中数三的考生只需要看平面图形的面积 、旋转体的体积和平行截面面积为已知的立体体积
，所以这部分内容中数三的考生是比较轻松的，而数一、数二的同学就比较辛苦了。下面我们主要分析讨论数一
、二、三都考的内容 ，也就是平面图形的面积 、旋转体的体积和平行截面面积为已知的立体体积的计算方法 。

首先我们看平面图形的面积
。在定积分的应用里面
，求平面图形的面积可以说是最简单的，因为我们知道定积分的几何意义就是表示平面图形面积的代数和 ，所以要求平面图形的面积，只需要掌握定积分的计算方法
，那么在计算平面图形的面积时就不会出问题。

我们再来看求简单几何体的体积，这一部分包括求旋转体的体积和平行截面面积为已知的立体体积 ，虽然看着是两方面的要求
，但实际上我们只需要掌握一种类型的计算方法就可以了，也就是求平行截面面积为已知的立体体积 。如下图所示：

大家在做定积分应用的题目时 ，关键不是记住这些公式
，关键是要能够掌握这些公式的本质思想，只要理解了这些本质内容 ，在我们做题的时候就不用死记公式了
，这样的话也可以提高大家的学习效率
。

　　(本文作者为三人行考研网数学讲师––王玉娇)