联考综合>经济类数学#联考数学线性代数部分特点解析

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时间：2016-06-1814:48:01

线性代数的概念很多
，重要的有：

代数余子式，伴随矩阵 ，逆矩阵
，初等变换与初等矩阵，正交变换与正交矩阵 ，秩(矩阵
、向量组、二次型)
，等价(矩阵 、向量组)，线性组合与线性表出 ，线性相关与线性无关，极大线性无关组
，基础解系与通解，解的结构与解空间 ，特征值与特征向量
，相似与相似对角化，二次型的标准形与规范形 ，正定
，合同变换与合同矩阵
。

往年常有考生没有准确把握住概念的内涵，也没有注意相关概念之间的区别与联系 ，导致做题时出现错误。

例如
，矩阵A=(&alpha1，&alpha2 ，…
，&alpham)与B=(&beta1，&beta2… ，&betam)等价，意味着经过初等变换可由A得到B
，要做到这一点，关键是看秩r(A)与r(B)是否相等 ，而向量组&alpha1
，&alpha2，…&alpham与&beta1 ，&beta2
，…&betam等价，说明这两个向量组可以互相线性表出 ，因而它们有相同的秩
，但是向量组有相同的秩时，并不能保证它们必能互相线性表现 ，也就得不出向量组等价的信息
，因此，由向量组&alpha1 ，&alpha2，…&alpham与&beta1
，&beta2，…&betam等价 ，可知矩阵A=(&alpha1
，&alpha2，…&alpham)与B=(&beta1 ，&beta2
，…&betam)等价，但矩阵A与B等价并不能保证这两个向量组等价 。

又如 ，实对称矩阵A与B合同
，即存在可逆矩阵C使CTAC=B，要实现这一点 ，关键是二次型xTAx与xTBx的正
、负惯性指数是否相同
，而A与B相似是指有可逆矩阵P使P-1AP=B成立，进而知A与B有相同的特征值 ，如果特征值相同可知正、负惯性指数相同，但正负惯性指数相同时
，并不能保证特征值相同，因此 ，实对称矩阵A～B?A?B
，即相似是合同的充分条件
。

线性代数中运算法则多，应整理清楚不要混淆 ，基本运算与基本方法要过关
，重要的有：

行列式(数字型 、字母型)的计算，求逆矩阵 ，求矩阵的秩
，求方阵的幂，求向量组的秩与极大线性无关组 ，线性相关的判定或求参数
，求基础解系，求非齐次线性方程组的通解 ，求特征值与特征向量(定义法，特征多项式基础解系法)
，判断与求相似对角矩阵，用正交变换化实对称矩阵为对角矩阵(亦即用正交变换化二次型为标准形)。

二
、注重知识点的衔接与转换 ，知识要成网
，努力提高综合分析能力 。

线性代数从内容上看纵横交错，前后联系紧密 ，环环相扣
，相互渗透，因此解题方法灵活多变 ，复习时应当常问自己做得对不对?再问做得好不好?只有不断地归纳总结
，努力搞清内在联系，使所学知识融会贯通 ，接口与切入点多了
，熟悉了，思路自然就开阔了
。

例如：设A是m&timesn矩阵 ，B是n&timess矩阵，且AB=0
，那么用分块矩阵可知B的列向量都是齐次方程组Ax=0的解，再根据基础解系的理论以及矩阵的秩与向量组秩的关系 ，可以有

r(B)&len-r(A)即r(A)+r(B)&len

进而可求矩阵A或B中的一些参数

再如
，若A是n阶矩阵可以相似对角化，那么 ，用分块矩阵处理P-1AP=&and可知A有n个线性无关的特征向量
，P就是由A的线性无关的特征向量所构成，再由特征向量与基础解系间的联系可知此时若&lambdai是ni重特征值 ，则齐次方程组(&lambdaiE-A)x=0的基础解系由ni个解向量组成
，进而可知秩r(&lambdaiE-A)=n-ni，那么 ，如果A不能相似对角化
，则A的特征值必有重根且有特征值&lambdai使秩r(&lambdaiE-A)