联考综合>初等数学#初等数学组合数公式和变换技巧

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时间：2016-06-1811:26:31

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、设15000件产品中有1000件次品，从中拿出150件 ，求得到次品数的期望和方差?

2、设某射手对同一目标射击
，直到射中R次为止，记X为使用的射击次数 ，已知率为P
，求E(X) 、D(X)
。

这两题都要用到一些技巧。我先列出几个重要公式，证明过程中提供变换技巧 ，然后把这两个题目作为例题 。

先定义一个符号
，用S(K=1，N)F(K)表示函数F(K)从K=1到K=N求和
。(我不会用求和的符号)

公式1：

C(M-1 ，N-1)+C(M-1
，N)=C(M，N)

证明：方法1
、可直接利用组合数的公式证明

方法2、(更重要的思路)

C(M ，N)是从M个物品中任选N个的方法。

从M个物品中任意指定一个 。则选出N个的方法中，包含这一个的有C(M-1
，N-1)种，不包含这一个的有C(M-1 ，N)种
。

因此
，C(M-1，N-1)+C(M-1 ，N)=C(M
，N)

公式2：

S(K=N，M)C(K-1 ，N-1)=C(M
，N)(M》=N)

证明：C(M，N)是从M个物品中任选N个的方法。

从M个物品中任意指定M-N个 ，并按次序编号为第1到第M-N号
，而其余的还有N个 。

则选出N个的方法可分类为：

包含1号的有C(M-1，N-1)种;

不包含1号 ，但包含2号的有C(M-2，N-1)种;


。。 。
。。 。

不包含1到M-K号
，但包含M-K+1号的有C(K-1，N-1)种

。
。。 。
。。

不包含1到M-N-1号 ，但包含M-N号的有C(N
，N-1)种

不包含1到M-N号的有C(N，N)种 ，而C(N
，N)=C(N-1，N-1)

由于两种思路都是从M个物品中任选N个的方法 ，因此

S(K=N
，M)C(K-1，N-1)=C(M ，N)

公式3：

S(K=0
，N)C(P，K)*C(Q ，N-K)=C(P+Q，N)(P
，Q)=N)

证明：一批产品包含P件正品和Q件次品，则从这批产品中任选N件的选法为C(P+Q ，N) 。而公式里面的K表示选法中正品数量
，

C(P，K)*C(Q ，N-K)表示N件产品中有K件正品
，N-K件次品的选法
。K从0到N变化时，就包含了所有不同正品 、次品数的组合。

因此 ，S(K=0
，N)C(P，K)*C(Q ，N-K)=C(P+Q
，N)

公式4(一种变换技巧)：

S(K=0，N)K*C(M ，K)=S(K=0，N-1)M*C(M-1
，K)

证明：

S(K=0，N)K*C(M ，K)

=S(K=1
，N)K*C(M，K)

=S(K=1 ，N)K*M!/K!/(M-K)!

=S(K=1
，N)M*(M-1)!/(K-1)!/(M-K)!

=S(K=1，N)M*C(M-1 ，K-1)

=S(K=0
，N-1)M*C(M-1，K)

公式5(公式4的同种)

S(K=0 ，N)K*(K-1)*C(M
，K)

=S(K=0，N-2)M*(M-1)*C(M-2 ，K)

证明：(类似上式)

S(K=0，N)K*(K-1)*C(M
，K)

=S(K=2，N)K*(K-1)*M!/K!/(M-K)!

=S(K=2 ，N)M*(M-1)*(M-2)!/(K-2)!/(M-K)!

=S(K=2
，N)M*(M-1)*C(M-2，K-2)

=S(K=0 ，N-2)M*(M-1)*C(M-2
，K)

公式4用于求数学期望，公式4
、公式5结合起来可用于求方差 。