考研大纲>专业课大纲#2019年山东理工大学数学与统计学院856高等代数硕士研究生入学考试大纲

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时间：2020-07-2718:30:30

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科目代码：856科目名称：高等代数

考试范围：

一 、多项式

1数域上一元多项式的定义
、运算及运算规律.

2带余除法,整除的定义及性质.

3多项式的最大公因式,互素等概念及性质.辗转相除法.

4不可约多项式的定义及性质,因式分解定理,标准分解式.

5k重因式的定义.判断一个多项式有无重因式.

6多项式函数的概念,余数定理,多项式的根及性质.

7复系数、实系数多项式的因式分解,

8.有理系数多项式的可约性的判定.多项式的有理根.

二 、行列式

1n级行列式的定义及其基本性质.

2余子式
、代数余子式,行列式按一行(列)展开及Laplace定理.

3低阶行列式,有规律的高阶行列式的计算.

4克莱姆(Cramer)法则.

三、线性方程组

1线性组合 、线性相关、线性无关的定义
、性质及其判断.

2向量组的极大无关组、秩的定义及其求法.

3矩阵的行秩 、列秩
、秩的定义.矩阵的秩与其子式的关系.

4线性方程组的有解判别定理.含参数线性方程组解的讨论.

5齐次线性方程组基础解系;非齐次线性方程组有解的情况下,其解的表示.

四、矩阵

1矩阵的基本运算及其规律.有关矩阵秩的常见等式与不等式.

2可逆矩阵 、逆矩阵
、伴随矩阵等概念.矩阵可逆的充要条件?

3初等矩阵、初等变换.矩阵的等价标准形.求一个方阵的逆矩阵.

4分块矩阵的意义及其运算.分块矩阵的初等变换和广义初等矩阵的关系,求分块矩阵的逆.

五 、二次型

1二次型,二次型的(相伴))矩阵和非退化线性替换的概念

2二次型的标准形,化二次型为标准形的方法:配方法
、合同变换法

3复数域和实数域上二次型的规范形的唯一性,惯性定理.

4正定、半正定 、负定二次型及正定
、半正定矩阵等概念.

正定二次型及半正定二次型的等价条件.

六线性空间

1线性空间的定义及性质,判断一个代数系统是否是线性空间.

2线性空间的基,维数,向量坐标的概念及性质.基变换与坐标变换.

3子空间的定义及判别定理,向量组生成子空间的定义及等价条件.

4子空间的交与和的定义、性质及其求法,?维数公式.

5子空间直和的概念,和为直和的充要条件.

七线性变换

1线性变换的定义及性质,运算及运算规律?

2有限维线性空间中,线性变换与矩阵的关系,

3特征值 、特征向量、特征多项式的概念
、性质和计算.哈密尔顿-凯莱定理.

4n维线性空间中线性变换在某一组基下的矩阵为对角形的充要条件.

5线性变换的值域、核 、秩
、零度等概念及其计算?

6不变子空间的定义,判定一个子空间是否是A-子空间,不变子空间与线性变换矩阵化简之间的关系,空间V按特征值分解成不变子空间的直和表达式.

八、矩阵

若当标准形 、行列式因子
、不变因子、初等因子及其之间关系

九欧几里得空间

1欧氏空间的定义及性质,度量矩阵等概念和基本性质?

2正交向量组 、标准正交基的概念,施密特正交化过程,

3两个子空间正交的概念,欧氏空间中子空间都有唯一的正交补及其性质.

4正交变换的概念及几个等价条件.

5对称变换的定义及性质,实对称矩阵均可正交相似于一个对角阵,正交替换法化实二次型为标准形.