2021考研大纲#2020年东北林业大学842高等代数考研究生初试大纲及参考书目

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来源：东北林业大学研究生院2020-01-09相关院校：东北林业大学

考试要求

掌握基本的代数运算方法，包括：一元多项式运算(带余除法 ，辗转相除法，综合除法等)
，行列式的计算，矩阵运算(乘法、求秩 、判别方阵的可逆性及求逆、求方阵的特征值及特征向量
、分块矩阵等) ，线性方程组解的判定及求解等;

掌握基本的代数分析技巧
，包括：一元多项式的整除性及因式分解，向量的线性相关和线性无关性 ，向量空间的基与维数
，向量空间的同构，线性方程组解的结构,线性变换和矩阵的关系 ，线性变换(方阵)可对角化的判定,对称矩阵与二次型;

掌握代数的基本几何背景
，理解代数与几何的关系，包括：欧氏空间 ，正交变换与正交矩阵,对称变换与对称矩阵,主轴定理,利用二次型理论化简二次曲面方程。

考试内容范围:

一元多项式

1.一元多项式的定义和基本运算;

2.多项式的带余除法与综合除法
，多项式整除性的常用性质;

3.多项式的最大公因式概念及性质，辗转相除法;

4.不可约多项式的概念及性质 ，多项式的唯一因式分解定理，多项式的重因式;

5.多项式函数与多项式的根的概念及性质;

6.代数基本定理
，复数域和实数域上多项式的因式分解定理;

7.整系数多项式的有理根，Eisenstein判别法 。

行列式

1.线性方程组和行列式的关系 ，逆序数、排列 、n阶行列式定义
，子式和代数余子式定义;

2利用行列式的性质计算行列式

3.行列式依行依列展开;

4.克拉默法则。

线性方程组

1.利用消元法求解线性方程组;

2.矩阵的秩的概念，用矩阵的初等变换求秩;

3.线性方程组可解的判别法;

矩阵

1.矩阵的线性运算
、乘法、转置及其运算法则;

2.逆矩阵概念 ，矩阵可逆的判定条件及可逆矩阵的性质
，求可逆矩阵的逆矩阵的方法;

3.矩阵的分块法，分块矩阵的运算法则
。

五 、向量空间

1.向量空间及子空间的定义;

2.向量组线性相关
、线性无关的定义 ，向量组线性相关性的判定条件和性质
，向量组的极大无关组;

3.向量空间的基与维数，过渡矩阵及坐标变换公式;

4.向量空间的同构及其性质;

5.矩阵的秩与向量组的秩的关系及计算;

6.齐次线性方程组的解空间与基础解系;线性方程组的结构式通解。

六、线性变换

1.线性映射的概念及其相关性质 ，线性映射与矩阵的关系;

2.线性变换的概念及其相关性质
，线性变换与矩阵的关系;

3.不变子空间及其性质;

4.线性变换的本征值和本征向量 、方阵的特征值和特征向量;

5.可以对角化的矩阵 。

七
、欧氏空间

1.向量空间中向量的内积、长度 、夹角的定义及性质;

2.规范正交基，Schmidt正交化方法;

3.正交变换与正交矩阵的定义和性质 ，旋转变换与镜面反射变换的定义及性质;

4.正交补空间的定义及性质，正射影的定义及计算;

5.对称变换的定义和性质
，实对称矩阵的性质，实对称矩阵的正交相似对角化
。

八
、二次型

1.二次型与对称矩阵 ，矩阵的合同关系;

2.复数域和实数域上的二次型
，惯性定理;

3.利用配方法、初等变换 、正交变换方法化二次型为标准型;

4.正定二次型与正定矩阵的定义及性质，实对称矩阵正定的判定条件;

5.半正定二次型与半正定矩阵的定义及性质 ，实对称矩阵半正定的判定条件;。

参考书目：

1.张禾瑞
，郝鈵新，《高等代数》(第五版) ，高等教育出版社
，2007年

2.北京大学数学系前代数小组，《高等代数》(第四版) ，高等教育出版社
，2013年

3.李师正，《高等代数解题方法与技巧》 ，高等教育出版社，2004年

4.杨子胥
，《高等代数习题解(上下册)》，山东科学技术出版社 ，2015年