考研数学#2018考研究生数学#特征值+特征向量

特征值
、特征向量是线性代数的重要内容之一
，也是历年考研重点之一。它涉及到行列式、矩阵 、相关
、无关、秩 、基础解系等一系列问题，知识点多 ，综合性强
，必须要好好复习 。后面部分的二次型实际上是特征值的几何应用，复习二次型时一定要搞清楚二次型与特征值
、特征向量之间的内在联系
。下面请随老师来总结一下有关特征值、特征向量的相关内容及计算。

1.特征值与特征向量的概念

(1)定义：设为阶方阵 ，如果数和维非零列向量满足
，则称为的特征值，为的对应于的特征向量 。

(2)特征方程：称为矩阵的特征方程 ，称为的特征多项式
。

2.特征值与特征向量的计算方法

(1)定义法

(2)特征方程法

①由求出全部特征值();

②求出每个方程的基础解系()();

③线性组合(不同时为0)就是的对应于的全部特征向量。

(3)性质法(运用特征值与特征向量的性质) 。

3.特征值的性质

(1)和 、积性质

①
，称为的迹，是的全部特征值;

②;其中
。

[注]可逆()

不可逆0是的特征值。

(2)与有相同的特征值 。

(3)若可逆 ，是的特征值
，则分别有特征值，且与有相同的特征向量
。

(4)实对称矩阵的特征值为实数。

(5)若是的特征值 ，是对应的特征向量，则是的特征值
，是其对应的特征向量;特别是，分别有特征值和特征向量 。若的全部特征值为 ，则的全部特征值为
，其中是任意多项式。

4.特征向量的性质

(1)对应于不同特征值的特征向量线性无关;

(2)实对称矩阵的对应于不同特征值的特征向量相互正交;

(3)若是对应于同一个特征值的特征向量，则也是对应于的特征向量;

[注]若是对应于不同特征值的特征向量 ，则必不是特征向量
。

(4)若是重特征值
，则属于的线性无关的特征向量的个数不超过个;

(5)若是实对称矩阵的重特征值，则属于的线性无关的特征向量的个数有个。

本文主要介绍了特征值
、特征向量的概念、性质及相关计算方法 。希望2018考生可以多去练习及应用
。这一部分考研出题较灵活 ，经常会利用相关性质考查相关题目。希望2018考生可以牢牢掌握该知识点 。最后
，希望2018考研的同学们好好复习并掌握这一部分的知识，争取在2018研究生入学考试中 ，取得优异成绩!