考研数学#2018考研究生数学#二次型的常考题型及基本算法

二次型是线性点数的重点内容之一，也是考研数学中必考的内容。二次型实际上是特征值的几何应用 ，复习二次型时一定要搞清楚二次型与特征值、特征向量之间的内在联系 。下面请随老师来总结一下有关二次型的相关重点内容及常考题型
。

一 、考试要求

1.了解二次型的概念
，会用矩阵形式表示二次型，了解合同变换和合同矩阵的概念;

2.了解二次型的秩的概念 ，了解二次型的标准形
、规范形等概念，了解惯性定理
，会用正交变换法和配方法化二次型为标准形;

3.理解正定二次型、正定矩阵的概念，并掌握其判别法。

二 、常考题型

1.二次型的标准形;

2.二次型的规范形和惯性指数;

3.正定二次型和正定矩阵;

4.矩阵合同的判断 。

三、化二次型为标准形

1.相关理论

定理1(可逆变换)

,可逆 ，即
，实对称矩阵都合同于一对角矩阵。

[注]标准形的系数不一定是特征值，的列不一定是特征向量
。

定理2(正交变换)

,为正交矩阵 ，

即
，其中是的特征值，是由对应的两两正交的单位特征向量组成。

2.计算方法

方法1：配方法

先将含的所有项配成完全平方 ，再将含的所有项配成完全平方
，依次类推，直至配完;若二次型不含平方项 ，则用平方差公式化出平方项
，然后逐步配方 。

方法2：正交变换法

写出矩阵;

求特征值;

求特征向量，并将其正交单位化,记为(注：正交化只在属于同一个特征值的特征向量内部进行);

令 ，则为正交阵，且
，与对应;

令，则
。

本文主要介绍了二次型的相关考试要求
、考试中常考题型及最基本的计算方法。希望对2018考研的同学们有一定的帮助 。