考研数学#2017考研究生数学#高数定理证明之求导公式

考研数学有四大重要定理证明需要大家熟练掌握，它们是微分中值定理的证明 、求导公式的证明、积分中值定理和微积分基本定理的证明 ，下文我们来看的是求导公式的证明 。

2015年真题考了一个证明题：证明两个函数乘积的导数公式。几乎每位同学都对这个公式怎么用比较熟悉，而对它怎么来的较为陌生
。实际上
，从授课的角度，这种在2015年前从未考过的基本公式的证明 ，一般只会在基础阶段讲到。如果这个阶段的考生带着急功近利的心态只关注结论怎么用
，而不关心结论怎么来的，那很可能从未认真思考过该公式的证明过程 ，进而在考场上变得很被动 。这里给2017考研学子提个醒：要重视基础阶段的复习
，那些真题中未考过的重要结论的证明，有可能考到 ，不要放过
。

当然
，该公式的证明并不难。先考虑f(x)*g(x)在点x0处的导数 。函数在一点的导数自然用导数定义考察，可以按照导数定义写出一个极限式子
。该极限为“0分之0 ”型 ，但不能用洛必达法则
，因为分子的导数不好算(乘积的导数公式恰好是要证的，不能用!)。利用数学上常用的拼凑之法 ，加一项，减一项 。这个“无中生有”的项要和前后都有联系
，便于提公因子
。之后分子的四项两两配对，除以分母后考虑极限 ，不难得出结果。再由x0的任意性
，便得到了f(x)*g(x)在任意点的导数公式 。

类似可考虑f(x)+g(x)，f(x)-g(x) ，f(x)/g(x)的导数公式的证明
。