考研数学#2017考研究生数学#高数定理证明之微分中值定理

考研数学有四大重要定理证明需要大家熟练掌握，它们是微分中值定理的证明 、求导公式的证明
、积分中值定理和微积分基本定理的证明 ，下文我们来看的是微分中值定理的证明。

这一部分内容比较丰富
，包括费马引理、罗尔定理 、拉格朗日定理
、柯西定理和泰勒中值定理 。除泰勒中值定理外，其它定理要求会证
。

费马引理的条件有两个：1.f'(x0)存在2.f(x0)为f(x)的极值 ，结论为f'(x0)=0。考虑函数在一点的导数
，用什么方法?自然想到导数定义 。我们可以按照导数定义写出f'(x0)的极限形式
。往下如何推理?关键要看第二个条件怎么用。“f(x0)为f(x)的极值 ”翻译成数学语言即f(x)-f(x0)<0(或>0)，对x0的某去心邻域成立 。结合导数定义式中函数部分表达式 ，不难想到考虑函数部分的正负号。若能得出函数部分的符号，如何得到极限值的符号呢?极限的保号性是个桥梁
。

费马引理中的“引理
”包含着引出其它定理之意。那么它引出的定理就是我们下面要讨论的罗尔定理 。若在微分中值定理这部分推举一个考频最高的
，那罗尔定理当之无愧
。该定理的条件和结论想必各位都比较熟悉。条件有三：“闭区间连续”、“开区间可导 ”和“端值相等
”，结论是在开区间存在一点(即所谓的中值) ，使得函数在该点的导数为0 。

该定理的证明不好理解
，需认真体会：条件怎么用?如何和结论建立联系?当然，我们现在讨论该定理的证明是“马后炮”式的：已经有了证明过程 ，我们看看怎么去理解掌握
。如果在罗尔生活的时代
，证出该定理，那可是十足的创新 ，是要流芳百世的。

闲言少叙
，言归正传 。既然我们讨论费马引理的作用是要引出罗尔定理，那么罗尔定理的证明过程中就要用到费马引理
。我们对比这两个定理的结论 ，不难发现是一致的：都是函数在一点的导数为0。话说到这
，可能有同学要说：罗尔定理的证明并不难呀，由费马引理得结论不就行了 。大方向对 ，但过程没这么简单
。起码要说清一点：费马引理的条件是否满足，为什么满足?

前面提过费马引理的条件有两个——“可导 ”和“取极值”
，“可导
”不难判断是成立的，那么“取极值”呢?似乎不能由条件直接得到。那么我们看看哪个条件可能和极值产生联系 。注意到罗尔定理的第一个条件是函数在闭区间上连续。我们知道闭区间上的连续函数有很好的性质 ，哪条性质和极值有联系呢?不难想到最值定理
。

那么最值和极值是什么关系?这个点需要想清楚
，因为直接影响下面推理的走向。结论是：若最值取在区间内部，则最值为极值;若最值均取在区间端点 ，则最值不为极值 。那么接下来
，分两种情况讨论即可：若最值取在区间内部，此种情况下费马引理条件完全成立 ，不难得出结论;若最值均取在区间端点
，注意到已知条件第三条告诉我们端点函数值相等，由此推出函数在整个闭区间上的最大值和最小值相等 ，这意味着函数在整个区间的表达式恒为常数
，那在开区间上任取一点都能使结论成立
。

拉格朗日定理和柯西定理是用罗尔定理证出来的。掌握这两个定理的证明有一箭双雕的效果：真题中直接考过拉格朗日定理的证明，若再考这些原定理 ，那自然驾轻就熟;此外，这两个的定理的证明过程中体现出来的基本思路
，适用于证其它结论 。

以拉格朗日定理的证明为例，既然用罗尔定理证 ，那我们对比一下两个定理的结论
。罗尔定理的结论等号右侧为零。我们可以考虑在草稿纸上对拉格朗日定理的结论作变形
，变成罗尔定理结论的形式，移项即可 。接下来 ，要从变形后的式子读出是对哪个函数用罗尔定理的结果
。这就是构造辅助函数的过程——看等号左侧的式子是哪个函数求导后
，把x换成中值的结果。这个过程有点像犯罪现场调查：根据这个犯罪现场，反推嫌疑人是谁 。当然 ，构造辅助函数远比破案要简单
，简单的题目直接观察;复杂一些的，可以把中值换成x ，再对得到的函数求不定积分
。