考研数学#2017考研究生#数学必考定理证明[1]

一 、求导公式的证明

2015年真题考了一个证明题：证明两个函数乘积的导数公式。几乎每位同学都对这个公式怎么用比较熟悉 ，而对它怎么来的较为陌生 。实际上，从授课的角度
，这种在2015年前从未考过的基本公式的证明，一般只会在基础阶段讲到。如果这个阶段的考生带着急功近利的心态只关注结论怎么用 ，而不关心结论怎么来的
，那很可能从未认真思考过该公式的证明过程，进而在考场上变得很被动
。这里给2017考研学子提个醒：要重视基础阶段的复习 ，那些真题中未考过的重要结论的证明
，有可能考到，不要放过。

当然 ，该公式的证明并不难 。先考虑f(x)*g(x)在点x0处的导数
。函数在一点的导数自然用导数定义考察
，可以按照导数定义写出一个极限式子。该极限为“0分之0 ”型，但不能用洛必达法则 ，因为分子的导数不好算(乘积的导数公式恰好是要证的
，不能用!) 。利用数学上常用的拼凑之法，加一项 ，减一项
。这个“无中生有”的项要和前后都有联系，便于提公因子。之后分子的四项两两配对
，除以分母后考虑极限，不难得出结果 。再由x0的任意性 ，便得到了f(x)*g(x)在任意点的导数公式
。

类似可考虑f(x)+g(x)
，f(x)-g(x)，f(x)/g(x)的导数公式的证明。

二、微分中值定理的证明

这一部分内容比较丰富 ，包括费马引理
、罗尔定理、拉格朗日定理 、柯西定理和泰勒中值定理 。除泰勒中值定理外
，其它定理要求会证
。

费马引理的条件有两个：1.f'(x0)存在2.f(x0)为f(x)的极值，结论为f'(x0)=0。考虑函数在一点的导数 ，用什么方法?自然想到导数定义 。我们可以按照导数定义写出f'(x0)的极限形式。往下如何推理?关键要看第二个条件怎么用
。“f(x0)为f(x)的极值
”翻译成数学语言即f(x)-f(x0)<0(或>0)
，对x0的某去心邻域成立。结合导数定义式中函数部分表达式，不难想到考虑函数部分的正负号 。若能得出函数部分的符号 ，如何得到极限值的符号呢?极限的保号性是个桥梁
。

费马引理中的“引理”包含着引出其它定理之意。那么它引出的定理就是我们下面要讨论的罗尔定理 。若在微分中值定理这部分推举一个考频最高的
，那罗尔定理当之无愧
。该定理的条件和结论想必各位都比较熟悉。条件有三：“闭区间连续 ”
、“开区间可导
”和“端值相等”，结论是在开区间存在一点(即所谓的中值) ，使得函数在该点的导数为0 。该定理的证明不好理解，需认真体会：条件怎么用?如何和结论建立联系?当然
，我们现在讨论该定理的证明是“马后炮 ”式的：已经有了证明过程，我们看看怎么去理解掌握
。如果在罗尔生活的时代 ，证出该定理
，那可是十足的创新，是要流芳百世的。

闲言少叙 ，言归正传 。既然我们讨论费马引理的作用是要引出罗尔定理
，那么罗尔定理的证明过程中就要用到费马引理
。我们对比这两个定理的结论，不难发现是一致的：都是函数在一点的导数为0。话说到这 ，可能有同学要说：罗尔定理的证明并不难呀
，由费马引理得结论不就行了 。大方向对，但过程没这么简单。起码要说清一点：费马引理的条件是否满足 ，为什么满足?

前面提过费马引理的条件有两个——“可导
”和“取极值”
，“可导 ”不难判断是成立的，那么“取极值
”呢?似乎不能由条件直接得到
。那么我们看看哪个条件可能和极值产生联系。注意到罗尔定理的第一个条件是函数在闭区间上连续 。我们知道闭区间上的连续函数有很好的性质 ，哪条性质和极值有联系呢?不难想到最值定理
。那么最值和极值是什么关系?这个点需要想清楚，因为直接影响下面推理的走向。结论是：若最值取在区间内部
，则最值为极值;若最值均取在区间端点，则最值不为极值 。那么接下来 ，分两种情况讨论即可：若最值取在区间内部
，此种情况下费马引理条件完全成立，不难得出结论;若最值均取在区间端点 ，注意到已知条件第三条告诉我们端点函数值相等
，由此推出函数在整个闭区间上的最大值和最小值相等，这意味着函数在整个区间的表达式恒为常数 ，那在开区间上任取一点都能使结论成立
。

拉格朗日定理和柯西定理是用罗尔定理证出来的。掌握这两个定理的证明有一箭双雕的效果：真题中直接考过拉格朗日定理的证明
，若再考这些原定理，那自然驾轻就熟;此外 ，这两个的定理的证明过程中体现出来的基本思路
，适用于证其它结论 。

以拉格朗日定理的证明为例，既然用罗尔定理证 ，那我们对比一下两个定理的结论
。罗尔定理的结论等号右侧为零。我们可以考虑在草稿纸上对拉格朗日定理的结论作变形，变成罗尔定理结论的形式
，移项即可 。接下来，要从变形后的式子读出是对哪个函数用罗尔定理的结果
。这就是构造辅助函数的过程——看等号左侧的式子是哪个函数求导后 ，把x换成中值的结果。这个过程有点像犯罪现场调查：根据这个犯罪现场
，反推嫌疑人是谁 。当然，构造辅助函数远比破案要简单 ，简单的题目直接观察;复杂一些的
，可以把中值换成x，再对得到的函数求不定积分。