2022考研大纲#2023年湖州师范学院871*高等代数*考试大纲及参考书目

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数学硕士研究生入学考试《高等代数》考试大纲

考试科目名称：《高等代数》科目代码：871

适用专业：0701数学(一级学科)

一、考试形式与试卷结构

(一)试卷总分及考试时间

本试卷总分为150分 ，考试时间为180分钟 。

(二)考试形式

考试形式为闭卷。

(三)试卷题型结构

以计算题和证明题为主
。

二 、考查目标

要求考生熟练掌握高等代数的基本知识、基本理论和基本方法，能够熟练地运用高等代数的理论和方法解决相关问题。

三
、考试内容

本课程考核内容主要包括多项式理论、行列式 、矩阵理论
、线性方程组、二次型 、线性空间
、线性变换、欧氏空间等八个部分 。主要章节内容及考核重点如下：

第一章多项式

1.数域

2.一元多项式

3.整除的概念

4.最大公因式

5.因式分解定理

6.重因式

7.多项式函数

8.复系数与实系数多项式的因式分解

9.有理系数多项式

重点：多项式整除性质的应用
，最大公因式的求法与判定，互素的判定 ，不可约多项式的性质及判定
，重因式与重根的判定
。

第二章行列式

1.排列

2.n阶行列式

3.n阶行列式的性质

4.行列式的计算

5.行列式按一行(列)展开

6.克拉默法则

重点：行列式的计算及应用，克拉默法则的应用。

第三章线性方程组

1.消元法

2.n维向量空间

3.线性相关性

4.矩阵的秩

5.线性方程组有解判别定理

6.线性方程组解的结构

重点：向量组线性相关性的判定 ，向量组秩的判定
，线性方程组有解的判别条件 、齐次线性方程组有非零解的判定
、基础解系的求法，线性方程组的求解 。

第四章矩阵

1.矩阵的概念

2.矩阵的运算

3.矩阵乘积的行列式与秩

4.矩阵的逆

5.矩阵的分块

6.初等矩阵

7.分块矩阵的初等变换及应用举例

重点：矩阵的初等变换与初等矩阵的关系及其应用 ，矩阵可逆的判定
，逆矩阵的求法，分块矩阵的应用 ，矩阵秩的性质与判定
。

第五章二次型

1.二次型的矩阵表示

2.标准形

3.唯一性

4.正定二次型

重点：二次型的化简
，实二次型的正(负)惯性指数与符号差的判定，正定矩阵的性质与判定 ，(半)正定二次型的判定。

第六章线性空间

1.集合·映射

2.线性空间的定义与简单性质

3.维数·基与坐标

4.基变换与坐标变换

5.线性子空间

6.子空间的交与和

7.子空间的直和

8.线性空间的同构

重点：线性(子)空间的基与维数的求法，过渡矩阵的求法
，维数公式的应用，子空间直和、线性空间同构的判别及应用 。

第七章线性变换

1.线性变换的定义

2.线性变换的运算

3.线性变换的矩阵

4.特征值与特征向量

5.对角矩阵

6.线性变换的值域与核

7.不变子空间

8.若当标准形介绍

重点：特征值与特征向量的判定与求法 ，线性变换(矩阵)可对角化的判定
，线性变换的值域与核的性质及求法，不变子空间性质与判定
。

第八章欧几里得空间

1.定义与基本概念

2.标准正交基

3.同构

4.正交变换

5.子空间

6.实对称矩阵的标准形

重点：欧氏空间的判定 ，度量矩阵的性质与求法
，标准正交基的判定与求法，正交变换与正交矩阵的性质与判定 ，实对称矩阵的正交相似标准形的应用。

参考教材：

1.高等代数
，第五版，北京大学数学系前代数小组编 ，王萼芳
，石生明修订，北京：高等教育出版社 ，2019 。

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