2022考研大纲#2023年湖州师范学院601*数学分析*考试大纲及参考书目

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数学硕士研究生入学考试《数学分析》考试大纲

考试科目名称：《数学分析》科目代码：601

适用专业：0701数学(一级学科)

一、考试形式与试卷结构

(一)试卷总分及考试时间

本试卷总分为150分，考试时间为180分钟。

(二)考试形式

答题方式为闭卷 。

(三)试卷题型结构

试卷题型主要包括：计算题 、讨论题
、解答题、证明题和综合题等
。

二 、考查目标

要求考生系统地理解数学分析课程的基本概念和基本定理 ，掌握数学分析的基本思维和论证方法
，能够运用数学分析的基本理论分析和解决相关问题。

三
、考试内容概要

本课程考核内容包括极限理论、实数完备性 、一元函数微分学和积分学
、多元函数微分学与积分学、级数理论等 。主要章节内容及要求如下：

第一章　实数集与函数

1.了解邻域，上确界 、下确界的概念和确界原理
。

2.掌握函数复合、基本初等函数
、初等函数及常用特性

(单调性、周期性 、奇偶性
、有界性等)。

3.掌握基本初等不等式及应用 。

第二章　数列极限

1.熟练掌握数列极限的ε-N定义
。

2.掌握收敛数列的常用性质。

3.熟练掌握数列收敛的判别条件

(单调有界原理、迫敛性定理 、Cauchy准则
、压缩映射原理、Stolz变换等) 。

4.能够熟练求解各类数列的极限。

第三章函数极限

1.深刻领会函数极限的“ε-δ ”定义及其它变式
。

2.熟练掌握函数极限存在的条件及判别

(归结原则 ，柯西准则
，左 、右极限，单调有界等)。

3.熟练应用两个重要极限求解较复杂的函数极限 。

4.理解无穷小量
、无穷大量的概念;会应用等价无穷小求极限;熟悉等价无穷小、同阶无穷小 、高阶无穷小及其性质
。

第四章　函数连续性

1.掌握函数在某点及在区间上连续的几种等价定义 ，尤其是ε-δ定义。

2.熟悉函数间断点及类型 。

3.熟练掌握闭区间上连续函数的三大性质及其应用
。

4.熟练掌握区间上一致连续函数的定义
、判断和应用。

5.知道初等函数的连续性 。

第五章　导数和微分

1.掌握导数的定义、几何意义
，领悟其思想内涵;熟悉单边导数概念及应用
。

2.掌握求导四则运算法则 、熟记基本初等函数的导数。

3.熟练掌握复合函数求导的链式法则 。

4.掌握参量函数、隐函数的求导法
、对数求导法
。

5.熟练掌握乘积函数求导的Leibniz公式。

6.掌握微分的概念，领悟其思想内涵;并会用微分进行近似计算 。

7.熟练掌握复合函数微分及一阶微分形式不变性。

8.理解连续、可导 、可微之间的关系
。

9.熟练掌握高阶导数的各种求解方法。

第六章　微分中值定理及其应用

1.熟练掌握微分中值定理及其应用 ，会证明中值点

2.熟练运用洛必达法则求极限
。

3.熟练掌握单调区间
、极值、最值的求法。

4.熟练掌握Taylor公式思想 、方法及应用 。

5.掌握曲线的凹凸性及拐点的求法，并掌握凸函数及性质
。

6.熟练应用函数单调性
、凹凸性等等工具证明函数不等式。

第七章　实数完备性

1.了解区间套、覆盖 、有限覆盖
、聚点等等的含义 。

2.掌握实数完备性各定理的具体内容
，领悟其证明的思想内涵
。实数完备性构成数学分析的理论核心。

3.掌握闭区间上连续函数有界性、最值性 、介值性
、一致连续性定理的证明 。

4.理解上极限、下极限的概念和等价叙述
。

第八章　不定积分

1.知道原函数与不定积分的概念。

2.熟练掌握换元法 、分部积分法 。

3.会计算有理函数的积分。

4.会计算三角函数有理式、某些简单无理式的积分
。

第九章　定积分

1.深刻领会定积分的定义和性质。

2.深刻理解微积分基本定理，并会熟练应用 。

3.熟练掌握换元法
、分部积分法计算定积分
。

4.知道可积条件和可积类。

第十章定积分的应用

1.熟练掌握平面图形面积的计算 。

2.熟练掌握旋转体或已知截面面积的体积
。

3.会利用定积分求孤长、旋转体的侧面积。

第十一章　反常积分

1.了解反常积分收敛性定义 。

2.熟练掌握反常积分敛散性判别法(Cauchy 、Abel
、Dirichlet三大判别法) ，重点在无穷积分
。

第十二章数项级数

1.知道级数收敛和发散的定义、性质。

2.熟练掌握正项级数收敛的各种判别法

(比较判别法 、比式判别法
、根式判别法、拉贝判别法 、积分判别法等) 。

3.熟练掌握条件收敛
、绝对收敛及Leibniz、Abel 、Dirichlet三大判别法
。

4.理解条件收敛
、绝对收敛级数的特殊性质。

第十三章　函数列与函数项级数

1.深刻理解函数列、函数项级数一致收敛的ε-N定义 。

2.熟练掌握函数列 、函数项级数一致收敛的判别法。

3.熟练掌握一致收敛函数列和一致收敛函数项级数的性质
。

第十四章　幂级数

1.掌握幂级数收敛域、收敛半径以及和函数的求法
，知道幂级数的若干性质。

2.熟练掌握函数的幂级数展开的方法 。

3.会求幂级数的和函数及某些数项级数的和
。

第十五章　傅里叶级数

1.熟记以

2.掌握余弦级数 ，正弦级数的求法 。

3.理解收敛性定理
，掌握Bessel不等式
、Lebesgue引理等几个重要定理
。

4.知道Parseval等式并运用其求某些数项级数的和。

第十六章多元函数的极限与连续

1.了解平面点集的若干概念、平面点集的完备性定理 。

2.掌握二元函数之二重极限 、二次极限的定义和计算
。

3.掌握二元函数连续性及其性质。

第十七章　多元函数微分学

1.掌握全微分和偏导数的概念
、了解其几何性质 。

2.会计算偏导数和全微分，会计算高阶偏导数(尤其是二阶偏导数)
。

3.熟练掌握多元复合函数求导的链式法则、理解一阶全微分形式不变性。

4.掌握二元函数连续 、偏导数连续
、可微、可偏导之间的多角关系 。

5.知道二元函数中值定理与Taylor公式。

6.熟练掌握多元函数极值 、最值的求解方法 ，并会运用于解决实际问题
。

7.了解方向导数与梯度及其几何
、物理意义。

第十八章　隐函数定理及其应用

1.理解隐函数(组)定理 。

2.会求隐函数(组)的微分
。

3.会求空间曲线的切线与法平面
，会求空间曲面的切平面与法线。

4.熟练掌握条件极值的Lagrange乘数法 。

第十九章　含参量积分

1.掌握含参量正常积分的定义及性质
。

2.熟练掌握含参量反常积分一致收敛定义、判别法。

3.熟练掌握一致收敛含参量反常积分的性质(连续性 、可导性
、可积性) 。

4.掌握Euler积分并用于计算某些反常积分;掌握用积分号下求导数等方法计算某些积分和反常积分
。

第二十章　曲线积分

1.理解第一、二型曲线积分的概念及物理意义。

2.熟练掌握两型曲线积分的基本参数计算公式 。

3.熟练掌握格林公式
。

4.掌握第二型曲线积分与路径无关的条件，会求全微分式的原函数。

第二十一章重积分

1.知道二重积分 、三重积分定义与性质 ，理解分割、求和
、取极限三部曲内涵 。

2.熟练掌握二重积分、三重积分的直角坐标计算---化为累次积分。

3.熟练掌握二重积分 、三重积分的变量替换
。重点是极坐标变换
、柱坐标变换球坐标变换及广义球坐标变换。

4.知道重积分几何应用
，会求曲面面积、重心坐标等 。

第二十二章　曲面积分

1.理解第一 、二型曲面积分的概念及物理意义;了解两种曲面积分的转换关系
。

2.掌握两型曲面积分的直角坐标计算公式。

3.熟练掌握Gauss公式和Stokes公式 。

参考教材：

1.数学分析(上
、下册)第五版，华东师范大学数学科学学院 ，北京:高等教育出社,2019
。

2.数学分析教程(上、下)(第三版)，常庚哲
，史济怀，合肥：中国科学技术大学出版社 ，2012。

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