考研数学#2020考研究生数学#高数必背定理之函数与极限

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来源：网络2019-08-13

数学想要获取高分，必要的公式定理一定要熟记。下面小编为大家整理了2020考研数学高数部分的公式定理 ，供大家参考 。

►函数与极限

1、函数的有界性在定义域内有f(x)≥K1则函数f(x)在定义域上有下界
，K1为下界;如果有f(x)≤K2，则有上界 ，K2称为上界
。函数f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。

2 、数列的极限定理(极限的唯一性)数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限 。

定理(收敛数列的有界性)如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界。

如果数列{xn}无界
，那么数列{xn}一定发散;但如果数列{xn}有界，却不能断定数列{xn}一定收敛 ，例如数列1
，-1，1 ，-1
，(-1)n+1…该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件
。

定理(收敛数列与其子数列的关系)如果数列{xn}收敛于a ，那么它的任一子数列也收敛于a.如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限
，那么数列{xn}是发散的，如数列1 ，-1
，1，-1 ，(-1)n+1…中子数列{x2k-1}收敛于1，{xnk}收敛于-1
，{xn}却是发散的;同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。

3
、函数的极限函数极限的定义中

定理(极限的局部保号性)如果lim(x→x0)时f(x)=A，而且A>0(或A0(或f(x)>0) ，反之也成立 。

函数f(x)当x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等
，即f(x0-0)=f(x0+0)，若不相等则limf(x)不存在
。

一般的说 ，如果lim(x→∞)f(x)=c
，则直线y=c是函数y=f(x)的图形水平渐近线。如果lim(x→x0)f(x)=∞，则直线x=x0是函数y=f(x)图形的铅直渐近线 。

4、极限运算法则定理：有限个无穷小之和也是无穷小;有界函数与无穷小的乘积是无穷小;常数与无穷小的乘积是无穷小;有限个无穷小的乘积也是无穷小;定理如果F1(x)≥F2(x) ，而limF1(x)=a
，limF2(x)=b，那么a≥b.

5 、极限存在准则：两个重要极限lim(x→0)(sinx/x)=1;lim(x→∞)(1+1/x)x=1.夹逼准则如果数列{xn}、{yn}
、{zn}满足下列条件：yn≤xn≤zn且limyn=a ，limzn=a
，那么limxn=a，对于函数该准则也成立
。

单调有界数列必有极限。

6、函数的连续性：设函数y=f(x)在点x0的某一邻域内有定义 ，如果函数f(x)当x→x0时的极限存在，且等于它在点x0处的函数值f(x0)
，即lim(x→x0)f(x)=f(x0)，那么就称函数f(x)在点x0处连续 。

不连续情形：1 、在点x=x0没有定义;2
、虽在x=x0有定义但lim(x→x0)f(x)不存在;3、虽在x=x0有定义且lim(x→x0)f(x)存在 ，但lim(x→x0)f(x)≠f(x0)时则称函数在x0处不连续或间断
。

如果x0是函数f(x)的间断点
，但左极限及右极限都存在，则称x0为函数f(x)的第一类间断点(左右极限相等者称可去间断点 ，不相等者称为跳跃间断点)。非第一类间断点的任何间断点都称为第二类间断点(无穷间断点和震荡间断点) 。

定理有限个在某点连续的函数的和 、积
、商(分母不为0)是个在该点连续的函数
。

定理如果函数f(x)在区间Ix上单调增加或减少且连续
，那么它的反函数x=f(y)在对应的区间Iy={y|y=f(x)，x∈Ix}上单调增加或减少且连续。反三角函数在他们的定义域内都是连续的 。

定理(最大值最小值定理)在闭区间上连续的函数在该区间上一定有最大值和最小值。如果函数在开区间内连续或函数在闭区间上有间断点 ，那么函数在该区间上就不一定有最大值和最小值
。

定理(有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界
，即m≤f(x)≤M.定理(零点定理)设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续 ，且f(a)与f(b)异号(即f(a)×f(b)

推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值。

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