考研数学>复习指导#2020考研究生数学#公式总结之两角和差篇

类目：三人行考研网>考研数学>复习指导>正文

时间：2019-11-2517:20:10

对于2020考研数学备考的学生来说，公式部分的内容我们要着重掌握 ，因为大多数题型都会涉及到 。为此
，三人行考研网小编整理了“2020考研数学：公式总结之两角和差篇 ”的相关内容，希望对大家有所帮助
。

三 、两角和差公式：

1
、两角和与差的三角函数公式：

sin(&alpha+&beta)=sin&alphacos&beta+cos&alphasin&beta

sin(&alpha-&beta)=sin&alphacos&beta-cos&alphasin&beta

cos(&alpha+&beta)=cos&alphacos&beta-sin&alphasin&beta

cos(&alpha-&beta)=cos&alphacos&beta+sin&alphasin&beta

tan(&alpha+&beta)=(tan&alpha+tan&beta)/(1-tan&alphatan&beta)

tan(&alpha-&beta)=(tan&alpha-tan&beta)/(1+tan&alpha·tan&beta)

2、二倍角公式：

二倍角的正弦 、余弦和正切公式(升幂缩角公式)

sin2&alpha=2sin&alphacos&alpha

cos2&alpha=cos^2(&alpha)-sin^2(&alpha)=2cos^2(&alpha)-1=1-2sin^2(&alpha)

tan2&alpha=2tan&alpha/[1-tan^2(&alpha)]

3
、半角公式：

半角的正弦、余弦和正切公式(降幂扩角公式)

sin^2(&alpha/2)=(1-cos&alpha)/2

cos^2(&alpha/2)=(1+cos&alpha)/2

tan^2(&alpha/2)=(1-cos&alpha)/(1+cos&alpha)

另也有tan(&alpha/2)=(1-cos&alpha)/sin&alpha=sin&alpha/(1+cos&alpha)

4 、实用公式：

sin&alpha=2tan(&alpha/2)/[1+tan^2(&alpha/2)]

cos&alpha=[1-tan^2(&alpha/2)]/[1+tan^2(&alpha/2)]

tan&alpha=2tan(&alpha/2)/[1-tan^2(&alpha/2)]

实用公式推导：

附推导：　sin2&alpha=2sin&alphacos&alpha=2sin&alphacos&alpha/(cos^2(&alpha)+sin^2(&alpha))......

(因为cos^2(&alpha)+sin^2(&alpha)=1)

再把分式上下同除cos^2(&alpha) ，可得sin2&alpha=2tan&alpha/(1+tan^2(&alpha))

然后用&alpha/2代替&alpha即可。

同理可推导余弦的实用公式 。正切的实用公式可过正弦比余弦得到
。

5、三倍角公式：

三倍角的正弦
、余弦和正切公式：

sin3&alpha=3sin&alpha-4sin^3(&alpha)

cos3&alpha=4cos^3(&alpha)-3cos&alpha

tan3&alpha=[3tan&alpha-tan^3(&alpha)]/[1-3tan^2(&alpha)]

三倍角公式推导：

附推导：

tan3&alpha=sin3&alpha/cos3&alpha

=(sin2&alphacos&alpha+cos2&alphasin&alpha)/(cos2&alphacos&alpha-sin2&alphasin&alpha)

=(2sin&alphacos^2(&alpha)+cos^2(&alpha)sin&alpha-sin^3(&alpha))/(cos^3(&alpha)-cos&alphasin^2(&alpha)-2sin^2(&alpha)cos&alpha)

上下同除以cos^3(&alpha)
，得：

tan3&alpha=(3tan&alpha-tan^3(&alpha))/(1-3tan^2(&alpha))

sin3&alpha=sin(2&alpha+&alpha)=sin2&alphacos&alpha+cos2&alphasin&alpha

=2sin&alphacos^2(&alpha)+(1-2sin^2(&alpha))sin&alpha

=2sin&alpha-2sin^3(&alpha)+sin&alpha-2sin^3(&alpha)

=3sin&alpha-4sin^3(&alpha)

cos3&alpha=cos(2&alpha+&alpha)=cos2&alphacos&alpha-sin2&alphasin&alpha

=(2cos^2(&alpha)-1)cos&alpha-2cos&alphasin^2(&alpha)

=2cos^3(&alpha)-cos&alpha+(2cos&alpha-2cos^3(&alpha))

=4cos^3(&alpha)-3cos&alpha

即

sin3&alpha=3sin&alpha-4sin^3(&alpha)

cos3&alpha=4cos^3(&alpha)-3cos&alpha

三倍角公式联想记忆：

记忆方法：谐音、联想

正弦三倍角：3元减4元3角(欠债了(被减成负数)，所以要“挣钱
”(音似“正弦”))

余弦三倍角：4元3角减3元(减完之后还有“余 ”)

Ps：注意函数名 ，即正弦的三倍角都用正弦表示，余弦的三倍角都用余弦表示。

另外的记忆方法：

正弦三倍角：山无司令(谐音为三无四立)三指的是"3倍"sin&alpha
，无指的是减号，四指的是"4倍" ，立指的是sin&alpha立方

余弦三倍角：司令无山与上同理

6 、和差化积公式

三角函数的和差化积公式

sin&alpha+sin&beta=2sin[(&alpha+&beta)/2]·cos[(&alpha-&beta)/2]

sin&alpha-sin&beta=2cos[(&alpha+&beta)/2]·sin[(&alpha-&beta)/2]

cos&alpha+cos&beta=2cos[(&alpha+&beta)/2]·cos[(&alpha-&beta)/2]

cos&alpha-cos&beta=-2sin[(&alpha+&beta)/2]·sin[(&alpha-&beta)/2]

三角函数的积化和差公式：

sin&alpha·cos&beta=0.5[sin(&alpha+&beta)+sin(&alpha-&beta)]

cos&alpha·sin&beta=0.5[sin(&alpha+&beta)-sin(&alpha-&beta)]

cos&alpha·cos&beta=0.5[cos(&alpha+&beta)+cos(&alpha-&beta)]

sin&alpha·sin&beta=-0.5[cos(&alpha+&beta)-cos(&alpha-&beta)]

和差化积公式推导：

附推导：

首先
，我们知道sin(a+b)=sinacosb+cosasinb，sin(a-b)=sinacosb-cosasinb

我们把两式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sinacosb

所以 ，sinacosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2

同理
，若把两式相减，就得到cosasinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2

同样的 ，我们还知道cos(a+b)=cosacosb-sinasinb
，cos(a-b)=cosacosb+sinasinb

所以，把两式相加 ，我们就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosacosb

所以我们就得到
，cosacosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2

同理，两式相减我们就得到sinasinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2

这样 ，我们就得到了积化和差的四个公式：

sinacosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2

cosasinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2

cosacosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2

sinasinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2

有了积化和差的四个公式以后，我们只需一个变形
，就可以得到和差化积的四个公式 。

我们把上述四个公式中的a+b设为x，a-b设为y ，那么a=(x+y)/2
，b=(x-y)/2

把a，b分别用x ，y表示就可以得到和差化积的四个公式：

sinx+siny=2sin((x+y)/2)cos((x-y)/2)

sinx-siny=2cos((x+y)/2)sin((x-y)/2)

cosx+cosy=2cos((x+y)/2)cos((x-y)/2)

cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)sin((x-y)/2)