考研数学>复习指导#2015考研究生数学证明题解题三大思路

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时间：2016-06-1611:03:58

1.结合几何意义记住零点存在定理、中值定理 、泰勒公式
、极限存在的两个准则等基本原理，包括条件及结论
。

知道基本原理是证明的基础 ，知道的程度(即就是对定理理解的深入程度)不同会导致不同的推理能力。如2006年数学一第16题(1)是证明极限的存在性并求极限 。只要证明了极限存在
，求值是很容易的，但是如果没有证明第一步 ，即使求出了极限值也是不能得分的
。因为数学推理是环环相扣的
，如果第一步未得到结论，那么第二步就是空中楼阁。这个题目非常简单 ，只用了极限存在的两个准则之一：单调有界数列必有极限 。只要知道这个准则
，该问题就能轻松解决，因为对于该题中的数列来说 ，“单调性
”与“有界性”都是很好验证的
。像这样直接可以利用基本原理的证明题并不是很多
，更多的是要用到第二步。

2.借助几何意义寻求证明思路

一个证明题，大多时候是能用其几何意义来正确解释的 ，当然最为基础的是要正确理解题目文字的含义 。如2007年数学一第19题是一个关于中值定理的证明题，可以在直角坐标系中画出满足题设条件的函数草图
，再联系结论能够发现：两个函数除两个端点外还有一个函数值相等的点，那就是两个函数分别取最大值的点(正确审题：两个函数取得最大值的点不一定是同一个点)之间的一个点
。这样很容易想到辅助函数F(x)=f(x)-g(x)有三个零点 ，两次应用罗尔中值定理就能得到所证结论。再如2005年数学一第18题(1)是关于零点存在定理的证明题
，只要在直角坐标系中结合所给条件作出函数y=f(x)及y=1-x在[0，1]上的图形就立刻能看到两个函数图形有交点 ，这就是所证结论
，重要的是写出推理过程 。从图形也应该看到两函数在两个端点处大小关系恰好相反，也就是差函数在两个端点的值是异号的 ，零点存在定理保证了区间内有零点
，这就证得所需结果
。如果第二步实在无法完满解决问题的话，转第三步。

3.逆推法

从结论出发寻求证明方法 。如2004年第15题是不等式证明题 ，该题只要应用不等式证明的一般步骤就能解决问题：即从结论出发构造函数
，利用函数的单调性推出结论。在判定函数的单调性时需借助导数符号与单调性之间的关系，正常情况只需一阶导的符号就可判断函数的单调性 ，非正常情况却出现的更多(这里所举出的例子就属非正常情况)，这时需先用二阶导数的符号判定一阶导数的单调性
，再用一阶导的符号判定原来函数的单调性，从而得所要证的结果
。该题中可设F(x)=ln*x-ln*a-4(x-a)/e* ，其中eF(a)就是所要证的不等式。

对于那些经常使用如上方法的考生来说
，利用三步走就能轻松收获数学证明的12分，但对于从心理上就不自信能解决证明题的考生来说 ，却常常轻易丢失12分
，后一部分同学请按“证明三步走 ”来建立自信心，以阻止考试分数的白白流失 。