考研复习专业课#2021年湖南师范大学*实变函数*硕士研究生入学考试考研大纲

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更新时间：2021/1/510:24:06

2021年湖南师范大学硕士研究生入学考试自命题科目考试大纲

考试科目代码：[]考试科目名称：实变函数

一、考试内容及要点

（一）测度论与可测函数部分

1 、n维欧式空间中的点集

考试内容：开集
、闭集的构造、分离定理

考试要点：

l要求考生熟练掌握开集闭集的概念及其构造定理
。

l要求考生理解Cantor集。

l要求考生熟练掌握分离定理 。

2 、测度论

考试内容：Lebesgue外测度
，可测集
、可测集类

考试要点：

l测度的定义和性质；

l掌握Lebesgue外测度和测度的定义和基本性质；

l练掌握由卡拉皆屋铎利给出可测集的定义及可测集的基本运算性质
。

l掌握零测集的性质；开集、闭集的可测性；

l了解特殊的两类集合，波雷耳集。

3 、可测函数

考试内容：可测函数及其性质 ，几乎处处收敛
，叶果洛夫定理，可测函数的构造 ，依测度收敛

考试要点：

l熟练掌握可测函数及其四则运算
，可测函数与简单函数的关系，几乎处处成立的概念；

l理解叶果洛夫定理；

l理解并掌握鲁津定理及其逆定理；

l熟练掌握依测度收敛的定义 ，几乎处处收敛与依测度收敛的几个反例
，Riese定理和Lebesgue收敛定理

（二）Lebesgue积分与不定积分部分

1
、Lebesgue积分的概念与性质

考试内容：勒贝格积分的定义，勒贝格积分的性质 ，一般可积函数
，积分的极限定理

考试要点：

l理解勒贝格积分的定义，掌握可积的两个充要条件；可积的四则运算 ，勒贝格积分与Riemann积分的关系；

l熟练掌握勒贝格积分的基本性质和绝对连续性；

l熟练掌握一般可积函数的L积分的定义和初等性质 。

l牢记勒贝格控制收敛定理，列维定理
，L逐项积分定理，积分的可数可加性 ，Fatou引理及有关积分与求导交换的定理
。

2、微分和不定积分

考试内容：有界变差函数 、绝对连续函数

考试要点：

l熟练掌握有界变差的定义
，理解Lebesgue定理；

l充分理解绝对连续函数，并理解绝对连续函数与不定积分的关系。

二
、参考书目

[1]江泽坚等编《实变函数论》（第3版） ，高等教育出版社
，2007年第3版.

[2]程其襄等编《实变函数与泛函分析基础》，高等教育出版社 ，2003年第2版.