考研数学>线性代数#2016考研究生数学#线代知识框架[三]

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时间：2016-06-1813:56:02

为了求向量组的秩 ，我们来考虑矩阵。矩阵的列向量组的秩称为矩阵的列秩
，行向量组的秩称为行秩 。

对阶梯形矩阵进行考察，发现阶梯形矩阵的行秩等于列秩 ，并且都等于阶梯形的非零行的数目
，并且主元所在的列构成列向量组的一个极大线性无关组
。

矩阵的初等行变换不会改变矩阵的行秩，也不会改变矩阵的列秩。

任取一个矩阵A ，过初等行变换将其化成阶梯形J，则有：A的行秩=J的行秩=J的列秩=A的列秩
，即对任意一个矩阵来说，其行秩和列秩相等 ，我们统称为矩阵的秩 。

过初等行变换化矩阵为阶梯形
，即是一种求矩阵列向量组的极大线性无关组的方法
。

考虑到A的行秩和A的转置的列秩的等同性，则初等列变换也不会改变矩阵的秩。总而言之 ，初等变换不会改变矩阵的秩 。因此如果只需要求矩阵A的秩
，而不需要求A的列向量组的极大无关组时，可以对A既作初等行变换 ，又作初等列变换
，这会给计算带来方便。

矩阵的秩，同时又可定义为不为零的子式的高阶数
。

满秩矩阵的行列式不等于零。非满秩矩阵的行列式必为零 。

既然矩阵的秩和矩阵的列秩相同 ，则可以把线性方程组有解的充分必要条件更加简单的表达如下：系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩
。另外
，有唯一解和有无穷多解的条件也可从秩的角度给出回答：系数矩阵的秩r等于未知量数目n，有唯一解 ，r