考研数学>高等数学#2020考研究生数学#高数这些定理需牢记[三]

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时间：2019-08-1311:47:01

对于考研数学来说 ，高数部分很重要
，要想拿分，须把一些定理记牢 。为此 ，三人行考研网小编整理了“2020考研数学：高数这些定理需牢记(三) ”的文章，希望对大家有所帮助
。

　　中值定理与导数的应用

1、定理(罗尔定理)

如果函数f(x)在闭区间[a
，b]上连续，在开区间(a ，b)内可导
，且在区间端点的函数值相等，即f(a)=f(b) ，那么在开区间(a
，b)内至少有一点&xi(a

　　2 、定理(拉格朗日中值定理)

如果函数f(x)在闭区间[a，b]上连续 ，在开区间(a
，b)内可导，那么在开区间(a ，b)内至少有一点&xi(a

3
、定理(柯西中值定理)

如果函数f(x)及F(x)在闭区间[a
，b]上连续，在开区间(a ，b)内可导，且F’(x)在(a
，b)内的每一点处均不为零，那么在开区间(a ，b)内至少有一点&xi
，使的等式[f(b)-f(a)]/[F(b)-F(a)]=f’(&xi)/F’(&xi)成立。

4、洛达法则应用条件只能用与未定型诸如0/0 、&infin/&infin、0&times&infin
、&infin-&infin、00 、1&infin
、&infin0等形式 。

5、函数单调性的判定法

设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续 ，在开区间(a
，b)内可导，那么：(1)如果在(a ，b)内f’(x)>0
，那么函数f(x)在[a，b]上单调增加(2)如果在(a ，b)内f’(x)

如果函数在定义区间上连续
，除去有限个导数不存在的点外导数存在且连续，那么只要用方程f’(x)=0的根及f’(x)不存在的点来划分函数f(x)的定义区间 ，就能保证f’(x)在各个部分区间内保持固定符号，因而函数f(x)在每个部分区间上单调。

6 、函数的极值

如果函数f(x)在区间(a
，b)内有定义，x0是(a ，b)内的一个点
，如果存在着点x0的一个去心邻域，对于这去心邻域内的任何点x ，f(x)f(x0)均成立
，就称f(x0)是函数f(x)的一个极小值
。

在函数取得极值处，曲线上的切线是水平的 ，但曲线上有水平曲线的地方
，函数不一定取得极值，即可导函数的极值点定是它的驻点(导数为0的点) ，但函数的驻点却不一定是极值点。

定理(函数取得极值的要条件)设函数f(x)在x0处可导
，且在x0处取得极值，那么函数在x0的导数为零 ，即f’(x0)=0.定理(函数取得极值的第一种充分条件)设函数f(x)在x0一个邻域内可导，且f’(x0)=0
，那么：(1)如果当x取x0左侧临近的值时，f’(x)恒为正当x去x0右侧临近的值时 ，f’(x)恒为负
，那么函数f(x)在x0处取得极大值(2)如果当x取x0左侧临近的值时，f’(x)恒为负当x去x0右侧临近的值时 ，f’(x)恒为正
，那么函数f(x)在x0处取得极小值(3)如果当x取x0左右两侧临近的值时，f’(x)恒为正或恒为负 ，那么函数f(x)在x0处没有极值 。

定理(函数取得极值的第二种充分条件)设函数f(x)在x0处具有二阶导数且f’(x0)=0
，f’’(x0)&ne0那么：(1)当f’’(x0)0时，函数f(x)在x0处取得极小值驻点有可能是极值点 ，不是驻点也有可能是极值点
。

　　7
、函数的凹凸性及其判定

设f(x)在区间Ix上连续
，如果对任意两点x1，x2恒有f[(x1+x2)/2][f(x1)+f(x1)]/2 ，那么称f(x)在区间Ix上图形是凸的。

设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续
，在开区间(a，b)内具有一阶和二阶导数 ，那么(1)若在(a
，b)内f’’(x)>0，则f(x)在闭区间[a ，b]上的图形是凹的(2)若在(a
，b)内f’’(x)

判断曲线拐点(凹凸分界点)的步骤(1)求出f’’(x)(2)令f’’(x)=0，解出这方程在区间(a ，b)内的实根(3)对于(2)中解出的每一个实根x0
，检查f’’(x)在x0左右两侧邻近的符号，如果f’’(x)在x0左右两侧邻近分别保持一定的符号 ，那么当两侧的符号相反时
，点(x0，f(x0))是拐点 ，当两侧的符号相同时，点(x0
，f(x0))不是拐点 。

在做函数图形的时候，如果函数有间断点或导数不存在的点 ，这些点也要作为分点
。